[每日练习]最大公约数问题的推倒

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   描述：对于给定正整数x，y，求它们的最大公约数d，并且求出参数a, b使得ax+by=d

辗转相除法

最大公约数的编程求解一般采用辗转相除法，具体如下：

1.取x，y中的较大者，这里假设x>y。

2.用x对y取模（即mod运算），x % y = d.

3.如果d==0，则最大公约数为y；如果d!=0，则令x=y，y=d，继续第二步。

对于等式ax+by=d中a，b的求解方法，一般是在x，y辗转相除法的过程中递归得到的，具体如下。

假设在辗转相除法的倒数第二步中的x，y为x1，y1，x1 % y1 = d1 != 0。

然后采用上面第三步的方法令x2 = y1, y2 = d1，这时x2 % y2 = 0。说明y2就是我们求的最大公约数d。

这时我们令a2 = 0, b2 = 1，则a2 * x2 + b2 * y2 = d。

通过上面的推倒，我们知道x2 = y1, y2 = d1 = x1 % y1 = x1 - y1 * r (r = x1整除y1) 。

代入公式得到a2 * y1 + b2 * (x1 - y1 * r) = d = b2 * x1 + (a2 - b2*r) * y1 = d.

可以得出结论，a1 = b2, b1 = (a2 - b2*r) 。

转换为c代码如下

static int gcd(int x, int y, int *a, int *b)
{
 int q = x/y;
 int r = x%y;
 int d, a1, b1;
 if(r == 0)
 {
  *a = 0;
  *b = 1;
  return y;
 }

 d = gcd(y, r, &a1, &b1);
 *a = b1;
 *b = a1 - b1*q;
 return d;
}

顺序推倒法

由上面的辗转相除法的推倒过程，我们可以得到启示。如果我们定义两个等式如下：

1 * x + 0 * y = x ---------------- (1)

0 * x + 1 * y = y ---------------- (2)

我们计算x/y，令r = x / y，d = x % y = x - (r * y)。我们在上面两个等式的左右两边分别做计算，用上面等式的值 减去 下面等式乘以r。如下

(1 - 0 * r) * x + (0 - 1 * r) * y = x - r * y = d ---------------- (3)

这时候，对等式（2）和（3）做重复的操作，直到d==0。

转化为c代码如下：

static int FastGCD(int x, int y, int *a, int *b)
{
int a1=1, b1=0, a2=0, b2=1;
int q, tmp_a, tmp_b;
int r = x%y;

while((r = x%y)!=0)
{
q = x/y;
tmp_a = a1-q*a2;
tmp_b = b1-q*b2;
a1 = a2, b1 = b2, a2 = tmp_a, b2 = tmp_b;
x = y;
y = r;
}

*a = a2;
*b = b2;
return y;
}

[每日练习]最大公约数问题的推倒

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原文地址：http://blog.csdn.net/petib_wangwei/article/details/43851795