学校测试-2015-03-01

记得以前做N皇后问题见到过二进制+位运算优化的方法, 今天的搜索题第三题和第四题都可以用到二进制和位运算. 就只做了这两个题目.

题目三

描述

传递游戏（pass）

Description
n个人在做传递物品的游戏,编号为1-n。
游戏规则是这样的：开始时物品可以在任意一人手上，他可把物品传递给其他人中的任意一位；下一个人可以传递给未接过物品的任意一人。
即物品只能经过同一个人一次，而且每次传递过程都有一个代价；不同的人传给不同的人的代价值之间没有联系；
求当物品经过所有n个人后，整个过程的最小总代价是多少。
Input Format
第一行为n,表示共有n个人（16>=n>=2）；
以下为n*n的矩阵，第i+1行、第j列表示物品从编号为i的人传递到编号为j的人所花费的代价，特别的有第i+1行、第i列为-1（因为物品不能自己传给自己），其他数据均为正整数(<=10000)。
Output Format
一个数，为最小的代价总和。

---

分析

• 状压DP, 二进制表示状态(点到过或没到过), 位运算实现查找和更新等操作
• f[i][k]表示状态为 k 并且最后停留在 i 点时的最小代价
• => min{f[i][(1<<n)+1], (0<=i<n)}
• 转移 :
  枚举状态 k : 0 -> (1 << n) - 1
  枚举要更新的结点 i : 0 -> n-1
  枚举中间结点 j : 0 -> n-1, (i != j)
  如果满足 在状态 k 中第 i 的位置为 0, 而第 j 的位置为 1, 那么就可以用 j 去更新 i.

• 核心 :

    if(i != j && (k&(1 << j)) && !(k&(1 << i))) 
              f[i][k^(1 << i)] = min(f[i][k^(1 << i)], f[j][k] + d[j][i]);

• 初始化
  f[i][1 << i] = 0, (0<=i<n)
  表示从任意点出发

---

代码

https://code.csdn.net/snippets/609746

题目四

描述

皇后守卫（queen）
Description
给一个N * M的棋盘，棋盘上的有些格子被打上了标记。现在需要在其中放置尽量少的皇后，使得所有被打上标记的格子至少被某一个皇后攻击或占据到。皇后之间可以互相攻击。
Input Format
输入最多15组数据。
每组数据第一行包含两个整数N和M(1 < N, M < 10)，以下为一个N行M列的棋盘，其中打上标记的格子用‘X’表示，其它格子用‘.’表示。
输入以一个0结尾。
Output Format
对于每组数据，输出一个数表示最少需要使用的皇后数目。

---

分析

• 二进制+位运算优化+普通最优化剪枝的 dfs
• void dfs(int x, int row, int ld, int rd, int* k, int c)
  x => 当前行
  row => 这一行被列控制下的上禁止放的位置
  ld => 这一行被左对角线控制下的不能放的位置
  rd => 这一行被右对角线控制下的不能放的位置
  k => 数组, 表示当前所有被覆盖的位置, 每一行都是用二进制表示的, 所以数组只需开一维
  c => 计数变量, 已经放的皇后数
  主函数调用dfs(0, 0, 0, 0, k, 0) // k 初始化全为 0
• 函数执行过程
  如果该状态下满足了需要, 直接更新答案后返回
  如果所以行已经考虑完了(x >= n), 直接返回
  最优化剪枝 : 如果当前 c 不比已经记录的 ans 更优, 直接返回
  从当前行中选可以放置皇后的地方开始放皇后, 继续dfs到下一层
  该行不放皇后, dfs到下一层

• 许多精巧的位运算 :

  • 在 row, ld, rd 限制下取出所有可以放置皇后的地方 => pos = ((1<<n)-1) & ~(row | ld | rd)
    解释 : row | ld | rd表示所有不可以放置皇后的地方, 取反后表示所有可以放置皇后的地方, 再并一下去除前面多余的1
  • 判断是否满足条件, 标记的地方都被覆盖到
    枚举 x, 如果所有 (k[x]&tar[x]) == tar[x] 说明满足
    解释 : tar[x]表示第 x 行需要被覆盖的二进制状态. 只有当 tar[x] 为 1 的地方 k[x] 也为 1 才满足
  • 更新状态, 在第 x 行二进制下 p 位置放置皇后对原可覆盖状态 k 的影响

  void update(int x, int p, int* k)
  {
  k[x] = upperlim;
  for(int i = 1; x-i >= 0; i++) {
      if((p<<i) < upperlim) k[x-i] |= (p<<i);
      if((p>>i) > 0) k[x-i] |= (p>>i);
      k[x-i] |= p;
  }
  for(int i = 1; x+i < n; i++) {
      if((p<<i) < upperlim) k[x+i] |= (p<<i);
      if((p>>i) > 0) k[x+i] |= (p>>i);
      k[x+i] |= p;
  }
  }

  解释 : upperlim = (1 << n) - 1
  首先 x 行应该全变为 1, 也就是 k[x] 状态为 upperlim
  再考虑对角线和列
  对p的解释 : p 的二进制中只有一位为 1, 也就是皇后所在列的那一位

---

代码

https://code.csdn.net/snippets/609744

---