也谈卡塔兰数

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引例一：2n个人排队买票，其中n个人持50元，n个人持100元。每张票50元，且一人只买一张票。初始时售票处没有零钱找零。请问这2n个人一共有多少种排队顺序，不至于使售票处找不开钱？

引例二：括号匹配，n个左括号，n个右括号，求合法组合数目。

引例三：1表示进栈，0表示出栈。n个0，n个1的合法排列。

引例四：对于一个无限大的栈，一共n个元素，请问有几种合法的入栈出栈形式？

引例五：P = a₁ * a₂ * a₃ * ... * a_n，其中a_i是矩阵。根据乘法结合律，不改变矩阵的相互顺序，只用括号表示成对的乘积，试问一共有几种括号化方案？（n-1对括号）

引例六：n个节点组成不同构二叉树的方案数

引例:七：2n+1个节点组成不同构满二叉树（full binary tree）的方案数

引例八：所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。下图为n = 4的情况：

证明：

n个1、n个0的2n位二进制数共有个，下面考虑不满足要求的数目

（假设位置是从1开始数的）第一次出现非法的0的位置必然是奇数位，即2i+1（前面都是合法，则01个数相等），此时若将2i+2（包括本身）之后的数，0变为1,1变为0，则得到n+1个0和n-1个1的序列。

而反过来，一个包含n+1个0和n-1个1的序列，必然也可以通过相同的方法得到一个n个0，n个1的非法序列（找到第一个非法0，然后将其后的数字，0变1,1变0）。也就是说（n个0，n个1）的非法序列和（n+1个0和n-1个1）的序列是一一对应的。

从而。证毕。PS:减数（2n,n+1）即非法的序列。

参考资料：

http://www.cnblogs.com/wuyuegb2312/p/3016878.html#suggestion

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E5%85%B0%E6%95%B0

http://blog.csdn.net/cncnlg/article/details/41698159

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原文地址：http://www.cnblogs.com/xiangzhi/p/4375013.html