描述
将一个正整数n表示成一系列正整数之和，n＝n1+ n2+…+ nk(其中，n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1).正整数n的这种表示称为正整数n的划分。正整数n的不同的划分个数称为正整数n的划分数，记作P(n)。
例如，正整数6有如下11种不同的划分，所以P(6)＝11.
6；
5+1；
4+2，4+1+1；
3+3，3+2+1，3+1+1+1；
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
1+1+1+1+1+1.
输入
测试文件有多个测试数据，每个测试数据为一个正整数n(1≤n≤100)，占一行。
输出
对每个测试数据计算其划分数P(n)，每个结果占一行。
样例输入
样例输出
在正整数 n 所有不同的划分中，将最大加数 n1 不大于 m 的划分个数记作 q(n,m) ，称它为属于 n 的一个 m 划分。根据 n 和 m 的关系，考虑以下几种情况：
（ 1 ）当 n=1 时，不论 m 的值为多少（ m>0) ，只有一种划分即 {1};
(2) 当 m=1 时，不论 n 的值为多少，只有一种划分即 n 个 1 ， {1,1,1,...,1};
(3) 当 n=m 时，根据划分中是否包含 n ，可以分为两种情况：
(a). 划分中包含 n 的情况，只有一个即 {n} ；
(b). 划分中不包含 n 的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的所有 (n-1) 划分。
因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1);
(4) 当 n<m 时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于 q(n,n);
(5) 但 n>m 时，根据划分中是否包含最大值 m ，可以分为两种情况：
(a). 划分中包含 m 的情况，即 {m, {x1,x2,...xi}}, 其中 {x1,x2,... xi} 的和为 n-m ，可能再次出现 m ，因此是（ n-m ）的 m 划分，因此这种划分个数为 q(n-m, m);
(b). 划分中不包含 m 的情况，则划分中所有值都比 m 小，即 n 的 (m-1) 划分，个数为 q(n,m-1);
因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1);
综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（ 1 ）和（ 2 ）属于边界条件，（ 3 ）和（ 4 ）属于特殊情况，将会转换为情况（ 5 ）。而情况 （ 5 ）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小 m 以达到边界条件，从而解决问题。其递推表达式如下：
0 n<1 或 m<1
1 n=1 或 m=1
q(n,m) = q(n,n) n<m
1+q(n,n-1) n=m
q(n,m-1)+q(n-m,m) n>m>1
据此，可设计计算 q(n,m) 的递归算法如下。其中，正整数 n 的划分数 P(n)=q(n,n) 。
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <queue>
#define M 1000005
#define ll long long
using namespace std;
int dfs(int a,int b)
{
if(a==1||b==1)
return 1;
if(b>a)
return dfs(a,a);
if(b==a)
return dfs(a,b-1)+1;
if(a>b)
return dfs(a-b,b)+dfs(a,b-1);
}
int main()
{
int i,n;
while(~scanf("%d",&n))
{
printf("%d\n",dfs(n,n));
}
return 0;
}
耗时较长，将递归转化为二维数组写法的递推
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <queue>
#define M 1000005
#define ll long long
using namespace std;
int main()
{
int a[105][105];
int i,j,n;
for(i=1;i<=100;i++)
{
a[i][1]=1;
a[1][i]=1;
}
for(i=2;i<=100;i++)
{
for(j=2;j<=100;j++)
{
if(i==j)
a[i][j]=1+a[i][j-1];
if(i<j)
a[i][j]=a[i][i];
if(i>j)
a[i][j]=a[i-j][j]+a[i][j-1];
}
}
while(~scanf("%d",&n))
{
printf("%d\n",a[n][n]);
}
return 0;
}
原文地址：http://blog.csdn.net/hanhai768/article/details/29069047
