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Lambda演算 Lambda Calculus 的简单理解
在λ演算中，每个表达式都代表一个函数，这个函数有一个参数，并且返回一个值。不论是参数和返回值，也都是一个单参的函数。可以这么说，λ演算中，只有一种“类型”，那就是这种单参函数。
函数是通过λ表达式匿名地定义的，这个表达式说明了此函数将对其参数进行什么操作。例如，“加2”函数f(x)= x + 2可以用lambda演算表示为λx.x + 2 (或者λy.y + 2，参数的取名无关紧要)而f(3)的值可以写作(λx.x + 2) 3。函数的应用（application）是左结合的：f x y =(f x) y。
考虑这么一个函数：它把一个函数作为参数，这个函数将被作用在3上：λf.f 3。如果把这个（用函数作参数的）函数作用于我们先前的“加2”函数上：(λf.f 3)(λx.x+2)，则明显地，下述三个表达式：
(λf.f 3)(λx.x+2) 与 (λx.x + 2) 3 与 3 + 2
是等价的。用js代码表达如下，
function f1(f) {
return f(3)
}
function f2() {
return function (x) {
return x + 2;
}
}
console.log(f1(f2()))
//=============或像下面这样写
console.log(f1((function () {
return function (x) {
return x + 2;
}
})()));
有两个参数的函数可以通过lambda演算这么表达：一个单一参数的函数的返回值又是一个单一参数的函数（参见Currying）。例如，函数f(x, y) = x - y可以写作λx.λy.x - y。下述三个表达式：
(λx.λy.x - y) 7 2 与 (λy.7 - y) 2 与 7 - 2
也是等价的。js的代码表达如下，
//最普通的实现两个数相加的函数
function add0(x, y) {
return x + y;
}
//使用函数的柯里化实现两个数相加
//也是js的闭包
function add1(num) {
return function (numOther) {
return num + numOther;
}
}
console.log(add1(3)(2))
然而这种lambda表达式之间的等价性无法找到一个通用的函数来判定。
并非所有的lambda表达式都可以规约至上述那样的确定值，考虑
(λx.x x)(λx.x x)
或
(λx.x x x)(λx.x x x)
然后试图把第一个函数作用在它的参数上。 (λx.x x)被称为ω 组合子，((λx.x x)(λx.x x))被称为Ω，而((λx.x x x) (λx.x x x))被称为Ω2，以此类推。
若仅形式化函数作用的概念而不允许lambda表达式，就得到了组合子逻辑。
插播：关于λ项
其实作为 Haskell 的核心，λ表达式是异常简洁的。下面是关于λ表达式 (λ Expression)，也叫λ项 (λ Term) ，的定义：
变元是λ项，通常用小写字母写出来，比如 x,y,z 等;
如果 M 是λ项，那么 λx.M 也是；
如果 M 和 N 都是λ项，那么 M N 也是。
变元 (variable) 形态的λ项很简单，就是 x 或者 y 或者 z 或者什么别的，我们通常用单个小写字母，有 时候也加上数字脚标，比如 x0, x1, x2 等，以示区分。
抽象 (abstraction) 形态的λ项，写出来就是先用λ这个符号本身作开头，后面跟一个变元，然后一个小点，然后跟一个任意的λ项。例如 λx.x 或 λx.y 或 λx.x x 等。
应用 (application) 形态的λ项，就是两个λ项写在一起，中间仅留一个空格做分隔。例如 f x 或者 x x。 写在前面的λ项通常叫函数(function)，后面的叫参(argument)。比如在 x x 这个表达式里，就是把 x 这个函数作用于(apply to)它自己。
在实际书写抽象和应用两种λ项时，如果没有一定的标识，往往会产生歧义。所以通常是用括号来把一个λ项和它前后的符号区分开，比如 (λx.x) y 这个表达式，就是说函数 λx.x 作用在参数 y 上。 我们通常不认为括号本身是λ项的一部分，使用它们纯粹是为了书写。
括号的使用有时候也可以略去。约定俗成的习惯是在表达抽象时，小点后面整个式子（除非是遇到反括号） 都是与小点前面的变元对应的λ项。比如 λx.(λy.(x y)) 就可以简写为 λx.λy.x y；在表达应用时则向左结 合，比如 f x y 应该被理解为 (f x) y 而不是 f (x y)。
Lambda演算只有三类表达式：
函数定义：Lambda演算中的函数是一个表达式 ，写成：lambda x . body ，表示“一个参数参数为x的函数，它的返回值为body的计算结果”。 这时我们说：Lambda表达式绑定了参数 x
标识符引用（identifier reference）：标识符引用就是一个名字，这个名字用于匹配函数表达式中的某个参数名
函数应用（function application）：函数应用写成把函数值放到它的参数前面的形式，如(lambda x . plus x x) y
A particular instance of a variable is “free” in a lambda expression if it is not “bound” by a lambda. For example, x is free in the expressions
x
and
λy. x
but not in this expression
λx. x
Because variables can be repeated, care must be taken to know which variable one is referring to.
For example, in this expression, the underlined occurrences of x are free, the others are not:
λy. x (λx. x x) x
A term is closed if it has no free variables; otherwise it is open
lambda表达式如果没有自由变量，那么其实闭合的。
闭包（closure）或者叫完全绑定（complete binding）
在对一个Lambda演算表达式进行求值的时候，不能引用任何未绑定的标识符。
如果一个标识符是一个闭合Lambda表达式的参数，我们则称这个标识符是（被）绑定的；如果一个标识符在任何封闭上下文中都没有绑定，那么它被称为自由变量。
lambda x . plus x y：在这个表达式中，y和plus是自由的，因为他们不是任何闭合的Lambda表达式的参数；而x是绑定的，因为它是函数定义的闭合表达式plus x y的参数。
lambda x y . y x ：在这个表达式中x和y都是被绑定的，因为它们都是函数定义中的参数。
lambda y . (lambda x . plus x y)：在内层演算lambda x . plus x y中，y和plus是自由的，x是绑定的。在完整表达中，x和y是绑定的：x受内层绑定，而y由剩下的演算绑定。plus仍然是自由的。
我们会经常使用free(x)来表示在表达式x中自由的标识符。
一个Lambda演算表达式只有在其所有变量都是绑定的时候才完全合法。但是，当我们脱开上下文，关注于一个复杂表达式的子表达式时，自由变量是允许存在的——这时候搞清楚子表达式中的哪些变量是自由的就显得非常重要了。
参考：http://cgnail.github.io/academic/lambda-1/
http://a.haskellcn.org/topic/4f9e4037edefd68d37010c8b
http://www.cs.yale.edu/homes/hudak/CS201S08/lambda.pdf
http://www.zhihu.com/question/20349066
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%CE%9B%E6%BC%94%E7%AE%97
Lambda演算 Lambda Calculus 的简单理解
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原文地址：http://my.oschina.net/xinxingegeya/blog/403472
