习题10-18 一个研究课题 UVa10837

标签：欧拉函数   数论   

1.题目描述：点击打开链接

2解题思路：本题利用欧拉函数的性质暴力搜索求解。首先，根据 phi(n)=pk11(p1?1)?pk22(p2?1)?pk33(p3?1)....可知，n中的所有素因子p必须满足phi(n)%(p-1)==0这一条件。因此可以事先将所有这样的素数找出来，然后在这些素数的基础上进行暴力搜索，来枚举哪些素数用与不用。如果用了，还要枚举所有的合法的使用次数。这看上去时间复杂度会比较高，但实际上每次多乘一个p，对应的值是呈指数上升的，因此能够很快找到解。

注意：本题的素数打表只打到10000。但实际上p是可能超过10000的，但这样的p只能有一个，否则会超出题目给定的10^8这一上界。因此最后要单独判断最后一个数是否为素数，而且是没有被使用过的素数。

3.代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<functional>
using namespace std;

const int N = 10005;
int vis[N], prime[N], pn, n, f[N], fn, ans;

void get_prime(int n) //打表筛出n以内的所有素数
{
	pn = 0;
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	for (int i = 2; i <= n; i++) 
	{
		if (vis[i]) continue;
		prime[pn++] = i;
		for (int j = i * i; j < N; j += i)
			vis[j] = 1;
	}
}

void build(int n) //根据欧拉函数的性质，找出所有可能的素因子
{
	fn = 0;
	ans = 200000000;
	for (int i = 0; i < pn && (prime[i] - 1) * (prime[i] - 1) <= n; i++) 
	{
		if (n % (prime[i] - 1)) continue;
		f[fn++] = prime[i];
	}
}

bool judge(int sum) //判断sum是否为素数，以及该素数是否被用过
{
	for (int i = 0; i < pn && prime[i] * prime[i] <= sum; i++)
	if (sum % prime[i] == 0) return false;
	for (int i = 0; i < fn; i++) {
		if (vis[i] && f[i] == sum) return false;
	}
	return true;
}

void dfs(int now, int sum, int tot) //当前层数为now,剩下的欧拉函数值为sum,总的乘积为tot
{
	if (now == fn) 
	{
		if (sum == 1) ans = min(ans, tot);
		else if (judge(sum + 1)) {//最后一个sum+1为一个新素数
			tot *= (sum + 1);
			ans = min(ans, tot);
		}
		return;
	}
	dfs(now + 1, sum, tot);//不使用第now个素数
	if (sum % (f[now] - 1)) return;//不能整除，失败返回
	vis[now] = 1;//使用标志
	sum /= (f[now] - 1);
	tot *= f[now];
	dfs(now + 1, sum, tot);//只用了一次的情况
	while (sum % f[now] == 0) //使用多次的情况
	{
		sum /= f[now];
		tot *= f[now];
		dfs(now + 1, sum, tot);

	}
	vis[now] = 0;//回溯时消除使用标记

}

int main() 
{
	//freopen("t.txt", "r", stdin);
	get_prime(10000);
	int cas = 0;
	while (~scanf("%d", &n) && n) 
	{
		build(n);
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		dfs(0, n, 1);
		printf("Case %d: %d %d\n", ++cas, n, ans);
	}
	return 0;
}

习题10-18 一个研究课题 UVa10837

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原文地址：http://blog.csdn.net/u014800748/article/details/45182771