动态规划总结【模板】

最长递增子序列

给定一个序列，找到最长子序列的长度，使得子序列中的所有元素被排序的顺序增加。

1.求最长递增子序列的长度O(N^2)

int Arr[30010],List[30010];
int LIS(int *Arr,int N)    //arr[]存放的是待求数组
{
    int Max = 0;        //max为最大递增子序列的长度
    for(int i = 1; i <= N; ++i)
        List[i] = 1;    //lis[i] 存放i之前的最大递增子序列的长度，初始都为1

    for(int i = 2; i <= N; ++i)
        for(int j = 1; j < i; ++j)    //遍历i之前所有位置
            if(Arr[i] >= Arr[j] && List[i]<List[j]+1)
                List[i] = List[j] + 1;
            //arr[i]>arr[j]为递增
            //lis[i]<lis[j] + 1确保为当前最长递增序列

    for(int i = 1; i <= N; ++i)
        if(Max < List[i])
            Max = List[i];

    return Max;
}

2.求最长递增子序列的长度O(NlogN)

int Arr[10010],List[10010];
int Stack[10010];
int LIS(int *Arr,int N)
{
    int top = 0;
    Stack[top] = -1;
    for(int i = 1; i <= N; ++i)
    {
        if(Arr[i] > Stack[top])
            Stack[++top] = Arr[i];
        else
        {
            int low = 1;
            int high = top;
            while(low <= high)
            {
                int mid = (low + high)/2;
                if(Arr[i] > Stack[mid])
                    low = mid + 1;
                else
                    high = mid - 1;
            }
            Stack[low] = Arr[i];
        }
    }
    return top;
}

最长公共子序列

给定两个序列，找出在两个序列中同时出现的最长子序列的长度。一个子序列是出现在相对顺序的序列，但不一定是连续的。

1.求最长公共子序列长度

char s1[220],s2[220];
int dp[220][220];
//求串s1和串s2的公共子序列
int lcs(char *s1,char *s2)
{
    int len1 = strlen(s1);
    int len2 = strlen(s2);
    for(int i = 0; i <= len1; ++i)
    {
        for(int j = 0; j <= len2; ++j)
        {
            if(i == 0 || j == 0)
                dp[i][j] = 0;
            else if(s1[i-1] == s2[j-1])
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            else
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
        }
    }
    return dp[len1][len2];
}

2.求最长公共子序列长度，并输出路径

int dp[110][110],pre[110][110],len1,len2;
char s1[110],s2[110];

void LCS(char *s1,char *s2)
{
    for(int i = 0; i <= len1; ++i)
        pre[i][0] = 1;
    for(int i = 0; i <= len2; ++i)
        pre[0][i] = 2;
    //得到最长公共子序列，并标记dp[i][j]的上一个状态，用来回溯寻找路径
    for(int i = 0; i <= len1; ++i)
    {
        for(int j = 0; j <= len2; ++j)
        {
            if(i == 0 || j == 0)
                dp[i][j] = 0;
            if(s1[i-1] == s2[j-1])
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                pre[i][j] = 0;
            }
            else if(dp[i-1][j] >= dp[i][j-1])
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                pre[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                dp[i][j] = dp[i][j-1];
                pre[i][j] = 2;
            }
        }
    }
}

void Print(int i,int j) //回溯输出新的字符串序列
{
    if(i == 0 && j == 0)
        return ;
    if(pre[i][j] == 0)
    {
        Print(i-1,j-1);
        printf("%c",s1[i-1]);
    }
    else if(pre[i][j] == 1)
    {
        Print(i-1,j);
        printf("%c",s1[i-1]);
    }
    else
    {
        Print(i,j-1);
        printf("%c",s2[j-1]);
    }
}

void solve(char *s1,char *s2)
{
    len1 = strlen(s1);
    len2 = strlen(s2);
    LCS(s1,s2);
    Print(len1,len2);
    printf("\n");
}

最长回文子序列

给一个字符串，找出它的最长的回文子序列LPS的长度。例如，如果给定的序列是“BBABCBCAB”，则输出应该是7，“BABCBAB”是在它的最长回文子序列。

char s[2020];
int dp[2020][2020];
//dp[i][j]表示s[i~j]最长回文子序列
int LPS(char *s)
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int len = strlen(s);
    for(int i = len-1; i >= 0; --i)
    {
        dp[i][i] = 1;
        for(int j = i+1; j < len; ++j)
        {
            if(s[i] == s[j])    //头尾相同，最长回文子序列为去头尾的部分LPS加上头和尾
                dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
            else    //头尾不同，最长回文子序列是去头部分的LPS和去尾部分LPS较长的
                dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+1][j]);
        }
    }

    return dp[0][len-1];
}

最小编辑距离

给定一个长度为m和n的两个字符串，设有以下几种操作：替换（R），插入（I）和删除（D）且都是相同的操作。寻找到转换一个字符串插入到另一个需要修改的最小（操作）数量。

int dp[1010][1010],len1,len2;
char s1[1010],s2[1010];
int EditDist(char *s1,char *s2)
{
    int len1 = strlen(s1);
    int len2 = strlen(s2);
//当两个字符串的大小为0，其操作距离为0。
//当其中一个字符串的长度是零，需要的操作距离就是另一个字符串的长度. 
    for(int i = 0; i <= len1; ++i)
        dp[i][0] = i;
    for(int i = 0; i <= len2; ++i)
        dp[0][i] = i;

    for(int i = 1; i <= len1; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= len2; ++j)
        {
            if(s1[i-1] == s2[j-1])  //对齐s1[i-1]和s2[j-1]，不需改变
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
            else    
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j],min(dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])) + 1;
            //s1前缀右对齐,s2前缀右为‘ ‘,删除s1第i个字符 -> dp[i-1][j]
            //s2前缀右对齐,s1前缀右为‘ ‘,删除s2第j个字符 -> dp[i][j-1]
            //s1前缀右对齐,s2前缀右对齐,i、j不一样，替换 -> dp[i-1][j-1]
        }
    }
    return dp[len1][len2];
}