Fzu1759 Super A^B mod C 题解

• 题目大意
  以若干行的形式给定若干组a,b,c（你不知道有多少组），输出若干行，每行代表相应的$a^b \mod c$的值。其中$1 \le a,c \le 1000000000,1 \le b \le 10^{1000000}$

• 评测网址

http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1759

• 题解
  数据真的很大。。。。。
  不过我们有公式：
  $a^b \mod c=a^{(b \mod \varphi(c)) + \varphi(c)} \mod c, b \ge \varphi(c);$
  把它记为(*)式。
  我们可以把b先用字符串ch读入，再从高位到低位处理：

for(int i = 0; i < strlen(ch); ++i)
{
    b = b * 10 + ch[i] - 48;
    b %= phi(c);
}

• 这很好理解，因为若一个数可以被$\varphi(c)$整除，这个数又是一个大数的前面若干位，那么这个大数前面若干位一定也可以被$\varphi(c)$整除，那么直接把这几位丢掉即可。所以可以对ch串边扩大边取模，得到的b就自然在$\varphi(c)$的范围内了。根据(*)式，这样不影响正确答案，然后上快速幂即可A掉本题。

• 注意事项
  提交时若使用scanf或printf输出long long或__int64，不能用”%lld”，只能用”%I64d”。

• Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
char ch[1000010];
inline ll singleEulerPhi(ll a)
{
    ll ans = a;
    for(ll i = 2; i <= (ll)sqrt(a * 10); ++i) if(a % i == 0)
    {
        ans = ans / i * (i - 1);
        while(a % i == 0) a /= i;
    }   
    if(a > 1) ans = ans / a * (a - 1);
    return ans;
}
inline ll quickPow(ll a, ll b, ll m)
{
    ll ans = 1;
    for(ll t = a; b; b >>= 1, t = (t % m) * (t % m) % m)
        if(b & 1) ans = (ans % m) * (t % m) % m;
    return ans;
}
inline void write(ll a)
{
    int top = 0;
    char ch[50];
    if(a < 0)
    {
        putchar(‘-‘);
        a = -a;
    }
    do {
        ch[top++] = a%10 + 48;
        a /= 10;
    } while(a);
    while(top--) putchar(ch[top]);
    putchar(‘\n‘);
}
int main()
{
    ll a, b, c, phi, len;
    while(scanf("%I64d", &a) == 1)
    {
        scanf("%s", &ch); scanf("%I64d", &c);
        len = strlen(ch); phi = singleEulerPhi(c);
        b = 0LL;
        for(int i = 0; i < len; ++i)
        {
            b = b * 10 + ch[i] - 48;
            b %= phi;
        }
        write(quickPow(a, b, c));
    }
    return 0;
}