剑指offer (45) 约瑟夫环问题

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题目：有编号从 1 到 n 的 n 个人坐成一圈报数，报到 m 的人出局，下一位再从 1 开始， 如此持续，直止剩下一位为止，报告此人的编号 X。输入 n, m，求出 X

题解分析：

一开始有 n 个人，报到 m 的人出局后，如果我们从刚才出局的那人的下一位开始重新从 1 开始编号，原问题就转化为了一个 n – 1 人的问题。

如下表所示：

老的编号 i 与新编号 j 之间的关系为：i = (j + m) % n ，其中“%”为取余数运算。

显然，这个过程可以不断重复，n – 1 规模的问题可以继续转化为 n – 2 规模的问题、n – 3 规模的问题，直到最后只剩下一个人。

我们可以总结出如下递推公式：

f(n) = (f(n – 1) + m) % n, (n > 1)，其中 f(n) 为当场上还有 n 个人时某个在场的人的编号

当最后只剩下一个人时，这个人的编号显然只能是 1 ，即 f(1) = 1，这时，我们可以根据上面的公式反推回去，推导出当 n 个人都在场时他的编号。

int LastNumber(int n, int m) 
{
    assert(n > 0 && m > 0);
    int last = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        last = (last + m) % i;
    }
    return last + 1;
}

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