Poj-3922 A simple stone game（博弈，k倍动态减法）

标签：博弈   k倍动态减法游戏   

Description

Input

Output

Sample Input

5 
16 1 
11 1 
32 2 
34 2 
19 3

Sample Output

Case 1: lose
Case 2: 1
Case 3: 3
Case 4: lose
Case 5: 4

思路：

      博弈论中的 K倍动态减法游戏，难度较大，参看了好多资料才懵懂！

      此题可以看作 Fibonacci 博弈的扩展，建议没弄懂 Fibonacci博弈的先学那个，个人整理 http://blog.csdn.net/tbl_123/article/details/24033245 ；

      而说扩展体现在数列不再是Fib数列，是根据 k 的值自行构造的，其它换汤不换药，具体构造方法如下：

      这儿方便说明白，首先根据k的值分情况讨论：

      1) 当 k = 1 时，必败态为 n = 2 ^ i, 因为我们把数按二进制分解后，拿掉二进制的最后一个1，那么对方必然不能拿走倒数第二位的1，因为他不能拿的比你多。你只要按照这个策略对方一直都不可能拿完。所以你就会赢。而当分解的二进制中只有一个1时，因为第一次先手不能全部取完，所以后手一定有办法取到最后一个1，所以必败！

          举个例子，当 n = 6 = （110）时:

                 第一轮：先手第一次取最右边的1，即2个，此时还剩4（100）个，后手能取1或2个；

                 第二轮：假如上轮后手取的两个，先手再取两个直接赢了

                               假如后手取了一个，那么还剩三个，自己只能去1个，以后也只能取一个，所以必胜！

      2) 当 k = 2 时，赤裸裸的Fibonacci博弈了，具体这儿不多说，自己再上述博客已写的很明白了。其实n经拆解后也可以表示成二进制的形式，用 k = 1时的方法来理解，比如 n = 11 = 7 + 3 + 1，可表示成 10101；

      3) 当 k 取任意非零正值时，重点来了：

          犹如Fibonacci博弈，我们首先要求一个数列，将n分解成数列中一些项的和，然后就可以按Fibonacci博弈的解决方法来完成，也可以按二进制的方法来理解，每次取掉最后一个1 还是符合上面的条件。

          我们用a数组表示要被求的数列，b数组中的b[i]保存 a[0...i] 组合能够构造的最大数字。这儿有点难理解，所谓构造就是指n分解为Fib数相加的逆过程。举例说明，当k = 2 时，a[N]={1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33....} （Fibonacci数组）；那么b[3] 即 1、2、 3 能够构造的最大数字，答案是4，有点匪夷所思？或许你会问为什么不是5、6或者其它的什么，其实是这样的 ，4 能分解成 1+3 是没有争议的，但5能分解成2+3吗? 不能，因为5本身也是Fibonacci数；6虽然能分解，但不是分解成1+2+3，而是分解成1+5。

          经过上述，我们知道b[i] 是 a[0...i] 能够构造出的最大数字，那么a[i +1] = b[i]+1；因为a数组（Fib数组）所存的数字都是不可构造的（取到它本身就是必败态），显然a[0...i]构造的最大数字 + 1 即为下一个不可构造的数字了(a[i + 1])。

          然后关于b[i]的计算，既然是a[0...i]构造最大数字，那么 a[i]是一定要选用的（这儿需要一定的推理，a[i]构造数字时，相邻的j个是不能同时用的，就像上述的2、3不能构造出5一样，推理请自己完成），那么要选用的下一项只能递减寻找，直到找到 a[t] 满足 a[t] * K < a[i] ，而b[t]就是a[0...t]所能构造的最大数字，再加上a[i], 即为a[0...i]能构造的最大数字，于是b[i] = b[t] + a[i]。

          求的数列后，之后的工作就简单了，跟Fibonacci博弈一样一样的，如果n=数列中的数，则必败，否则必胜；必胜时还要求输出第一步取法，其实就是分解的数列中最小的一个，将见代码。

代码：

#include <stdio.h>
#define N 20000005

int a[N], b[N];			// a 为数列， b 保存 a[0...i] 能构造出的最大的数

int main()
{
    int n, k;
    int loop = 0, casei = 1;
	scanf("%d",&loop);
	while(loop --){
        scanf("%d%d",&n,&k);
        a[0] = b[0] = 1;
        int i = 0, j = 0;

        while(n > a[i]){			// 构建数列
            i ++;
            a[i] = b[i - 1] + 1;
            while(a[j + 1] * k < a[i])
                j ++;
            if(k * a[j] < a[i])
                b[i] = b[j] + a[i];
            else
				b[i] = a[i];
        }

        printf("Case %d: ", casei ++);
        if(n == a[i])
			printf("lose\n");
        else{
            int ans;
            while(n){
                if(n >= a[i]){		// 构成 n 的最小的数列中的数字，即为第一次要取的数字
                    n -= a[i];
                    ans = a[i];
                }
                i --;
            }
            printf("%d\n",ans);
        }
    }

    return 0;
}

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Poj-3922 A simple stone game（博弈，k倍动态减法）

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原文地址：http://blog.csdn.net/tbl_123/article/details/24884861