hihoCoder #1143 : 骨牌覆盖问题·一

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描述

骨牌，一种古老的玩具。今天我们要研究的是骨牌的覆盖问题：
我们有一个2xN的长条形棋盘，然后用1x2的骨牌去覆盖整个棋盘。对于这个棋盘，一共有多少种不同的覆盖方法呢？
举个例子，对于长度为1到3的棋盘，我们有下面几种覆盖方式：

提示：骨牌覆盖

提示：如何快速计算结果

输入

第1行：1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000

输出

第1行：1个整数，表示覆盖方案数 MOD 19999997

样例输入

62247088

样例输出

17748018

我们考虑在已经放置了部分骨牌(灰色)的情况下，下一步可以如何放置新的骨牌(蓝色)：

当N很小的时候，我们直接通过递推公式便可以计算。当N很大的时候，只要我们的电脑足够好，我们仍然可以直接通过递推公式来计算。
但是我们学算法的，总是这样直接枚举不是显得很Low么，所以我们要用一个好的算法来加速(装X)。
事实上，对于这种线性递推式，我们可以用矩阵乘法来求第n项。对于本题Fibonacci数列，我们希望找到一个2x2的矩阵M，使得(a, b) x M = (b, a+b)，其中(a, b)和(b, a+b)都是1x2的矩阵。
显然，只需要取M = [0, 1; 1, 1]就可以了：

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const LL MOD=19999997;
LL N;
int i,j;
struct Matrlc
{
    LL mapp[2][2];
} ans,base;
Matrlc unit= {1,0,0,1};
Matrlc mult(Matrlc a,Matrlc b)
{
    Matrlc c;
    for(int i=0; i<2; i++)
        for(int j=0; j<2; j++)
        {
            c.mapp[i][j]=0;
            for(int k=0; k<2; k++)
                c.mapp[i][j]+=(a.mapp[i][k]*b.mapp[k][j])%MOD;
            c.mapp[i][j]%=MOD;
        }
    return c;
}
LL pow(LL n)
{
    base.mapp[0][0] =base.mapp[0][1]=base.mapp[1][0]=1;
    base.mapp[1][1]=0;
    ans.mapp[0][0] = ans.mapp[1][1] = 1;// ans 初始化为单位矩阵
    ans.mapp[0][1] = ans.mapp[1][0] = 0;
    while(n)
    {
        if(n&1)   ans=mult(ans,base);
        base=mult(base,base);
        n>>=1;
    }
    return ans.mapp[0][1]%MOD;
}
int main()
{
   scanf("%lld",&N);
   printf("%lld\n",pow(N+1)%MOD);
   return 0;
}

hihoCoder #1143 : 骨牌覆盖问题·一

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原文地址：http://blog.csdn.net/u013050857/article/details/46418859