标签：组合数学 矩阵
这是一个让我纠结许久，又不甘放弃的puzzle。在一个意志力极度薄弱的下午，对不起，我看了答案...所以，这又是一篇马后炮文章。但不是所有马后炮都一文不值。如果在讲解一个解答的时候，我们不能把思考背后的动机讲清楚，于他人和自己的价值就会小很多。每一步推理的过程，每一个构造的细节，不是无迹可寻的。我希望去揭示背后的东西。
一个解答背后包含了大量的探索。解谜高手对于如何避免无效的思考，摸清靠谱的思路，总是有一套自己的办法。遗憾的是，好些同学由于各种原因，没有公开自己的方法。例如，高斯同学，他认为数学家应该隐藏研究背后的脚手架，呈现给读者的是完整的建筑。
波利亚的《How to Solve It--A New Aspect of Mathematical Method》(中文译名《怎样解题--数学思维的新方法》)把思考的过程称为探索法。在解答问题的过程中，灵光一线的瞬间非常奇妙，多少人苦恼于它的时隐时现。又或者，我看到了一个解答。是的，它是正确的，真是巧妙啊。问题是，这是怎么想到的呢？
其实，这些貌似天外飞仙的奇思妙解也是有理可依，有迹可循。波利亚在这本造福人类的书中，对思考的方法做了很好的总结。（陶哲轩15岁时也写过一本《Solving mathematical Problems》）。也就是说，只要我们运用正确的思考方法，不畏险阻，热爱挑战，不断积累思考，终有一天，能够达到我们希望的境界。
回到正题，这个问题来自于Using your Head is Permitted网站。我是从matrix67的博客看到的。
题目摘自matrix67：
“某公司有 n 间办公室。每间办公室都有一盏灯，拉动它的开关即可改变电灯的状态。某些办公室之间存在“业务相关
的关系（这是一个对称的关系）。一个办公室可以和 0 到任意多个办公室相关。愚人节那天，有人在大家上班之前偷
偷对办公室的电灯开关做了手脚：拉动任何一个办公室的电灯开关，都会同时改变该办公室以及所有相关办公室的电
灯状态。初始时，所有灯都是关着的。证明：等到大家来上班后，总能用有限次的开关，最终把所有办公室的灯都打
开。”
解答在以上两个链接当中都有
说说我的思路：
如果把这个问题抽象出来就是一个对称的0、1矩阵,对角线都是1。
选择一些行向量相加，使得结果当中每个数字都为奇数。
例如
1 0 1
0 1 1
1 1 1
选择[1 1 1]
1 0 0
0 1 0
0 0 1
选择[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]
随便取几个较小的n，试验一下，都是成立的。找不到反例，看起来这个结论是对的，但是并不明显。
把条件特殊化。n=1,2,3,都是对的。
从特殊情形推广到一般情形，各位想到了什么呢？
数学归纳法
相信看到这里，很多独立思考的同学都想到了数学归纳法。接下来怎么办呢？
例如从n=3推广到4
1 0 1 0
0 1 1 0
1 1 1 1
0 0 1 1
首先想到的是，如果增加了新列以后，原先选择的向量相应的位置有奇数个1。那么就可以继续选择原先的向量。
原先选择[1 1 1]，扩展以后，第4列是1。依然选择[1 1 1 1]，所选的向量向加都是奇数，那么问题容易得解。
但是，新的位置在原先的位置有偶数个1怎么办呢？
例如
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
1 0 1 1
原先选择[1 0 0][0 1 0] [0 0 1]，新的向量就是[1 0 0 1] [0 1 0 0] [0 0 1 1]，第4列有偶数个1，显然是不对的。
当时的我就是卡在了这个地方。没有更好的思路。
这时候应该怎么办？翻一翻《How to Solve It》，看看有什么好的建议。
镇定一下情绪。
我们是否不该盲目地进行试探，而是要仔细地回顾这个问题，列举一下已知量、条件、结论。思考从什么地方下手，然后制定一个解题策略。（波利亚的思考法则）
结论是什么？存在一种选择方式，使得所选向量中每列的1为奇数个。所有的选择方式有2^n种，所以可能的结果也有那么多。这是一个存在性的结论，因此我们似乎无法从结论入手去逆推过程。
已知量是什么？
对于n=1, 2, 3, ..., n-2, n-1向量，结论都成立
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
1 0 1 1
而且n=4, n-1=3的对称矩阵不是只有（去掉红色部分）
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
1 0 1 1
还有
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
1 0 1 1 如果我们把第2列看作新加入的一列的话
因此n-1 = 3的子对称矩阵(sub sym matrix)实际上有4个。而且这4个矩阵，都符合上面的困境，否则的话只要有一个子矩阵不满足困境，结论即可证明。
而且我们知道这4个矩阵，可以组合成[单 单 单 双] [单 单 双 单] [单 双 单 单] [双 单 单 单]的向量
例如
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
1 0 1 1 选择1，2， 3向量可以得到新的[1 1 1 2]向量
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
1 0 1 1 选择4向量得到新的[1 0 1 1]
哈，看到这里，是否有了一些思路了呢？因为我们的已知量增加了，而且这些新的的东西都有很好的特征：
这些新的向量等价于[1 1 ... 0] [1 1 ... 0 1] ...[0 1 ... 1]，即n个无重复的向量，其中一列是0，其他都是1。
然后很自然地想到组合这些向量。
如果n=2，4，6，8...， 直接把这些向量相加，就可以得到等价于[1 1 ... 1]。这不就是我们的结论吗。
看来n是偶数的情形，我们已经有了一种构造性的方法，来证明我们的结论了。
如果能搞到这一步，之前一筹莫展的心情已经一扫而空，相信各位都能体会到满满的信心了。有前途啊！
下面就是设法搞定n是奇数的情形了。
一般性问题不好想的时候，从特殊情形考虑。（波利亚的思考法则）
考虑n=5 [1 1 1 1 0] [1 1 1 0 1][ [1 1 0 1 1] [1 0 1 1 1] [0 1 1 1 1]
如果选择偶数个向量，原先全是1的位置变成了0，原先是有0的位置变成了1。例如选[1 1 1 1 0] [1 1 1 0 1]，形成[0 0 0 1 1]
如果选奇数个，原先全是1的位置还是1，原先有0的位置变成了0。例如选[1 1 1 1 0] [1 1 1 0 1][ [1 1 0 1 1]，得到[1 1 0 0 0]
然后对比下，发现都有奇数个0，偶数个1。
猜想1，无论我们如何组合新的向量，得到的都是奇数个0，偶数个1
例如选[1 1 1 0 1]+[1 0 1 1 1]=[0 1 0 1 0]，再试验一下，也是这样。这个猜想的可信度已经比较高了。而且，这个结论是比较容易证明的。
于是我们通过组合新的向量，我们又获得了新的向量在n为奇数的情形下，更一般性的结论。
真的是越来越有希望了！
新的向量好像已经被挖掘到极限了，老的向量是否还有开发的空间呢?
如果我们在n为奇数的对称矩阵中，能找到一个向量，它有奇数个1，偶数个0，就能和新的向量形成互补了
例如
1 0 1 0 1
0 1 1 0 0
1 1 1 0 1
0 0 0 1 1
1 0 1 1 1 中第1行就是这样的向量。
好的，能否证明这个
猜想2，在n为奇数的对称矩阵中，能找到一个向量，它有奇数个1，偶数个0
这个结论也是比较容易证明的，运用反证法。如果我们不能很好地从正面证实它，就尝试从反面找到矛盾。（波利亚的思考法则）
首先，由于矩阵的对称性，他的对角线两边加起来有偶数个1，它的对角线有n个1，所以总共有奇数个1。
如果所有地向量都有偶数个1，那么1的个数加起来就是偶数，与已知矛盾。
证明了猜想2，那么整个命题得到证明。
OK，I can die in peace。至少，在今晚。
uyhip 趣题 拉灯问题总有解吗？,布布扣,bubuko.com
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