编程之美 2.9 斐波那契(Fibonacci)数列

编程之美 2.9 斐波那契(Fibonacci)数列

斐波那契的递归表达式如下

• F(n)=F(n-1)+F(n-2) n>=2
• F(1)=1
• F(0)=0

书中提到了三中解决方法

• 第一种：直接运用递归的方法来进行求解

package org.wrh.programbeautiful;

import java.util.Scanner;

public class Topic2_9 {

    public static void main(String[] args) {
        Topic2_9 t=new Topic2_9();
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        long time1=System.currentTimeMillis();
        System.out.println("fibonacci数列中的第"+n+"个数为："+t.fibonacci(n));
        System.out.println("计算s所需的时间"+(System.currentTimeMillis()-time1));
    }
    public int fibonacci(int n){
        if(n<=0){
            return 0;
        }
        else if(n==1){
            return 1;

        }
        else return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);

    }

}

这种方法的时间复杂度为：O(2^n)

由于这种方法在计算中存在大量的重复计算，因此，我们可以对计算过的F(n)进行一个记录，当下次需要计算此值时，直接拿出来用就好，这样就可以减少一定的时间复杂度，这就是我们常见的用“空间来换取时间”的方法。

实现代码如下：

package org.wrh.programbeautiful;

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Topic2_9 {

    int[] arr;
    public Topic2_9(int n){
        arr=new int[n+1];

    }
    public static void main(String[] args) {
        //Topic2_9 t=new Topic2_9();
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        Topic2_9 t=new Topic2_9(n);
        long time1=System.currentTimeMillis();
        System.out.println("fibonacci数列中的第"+n+"个数为："+t.fibonacci(n));
        System.out.println("计算s所需的时间：  "+(System.currentTimeMillis()-time1));
        System.out.println(Arrays.toString(t.arr));
    }

    public int fibonacci(int n){
        if(arr[n]!=0){//如果数据已经被计算过了，则直接返回即可
            return arr[n];
        }
        else{
            if(n<=0){
                return 0;
            }
            else if(n==1){
                arr[n]=1;
                return 1;

            }
            else {
                arr[n]= fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
                return arr[n];
            }
        }


    }
//  public int fibonacci(int n){
//      if(n<=0){
//          return 0;
//      }
//      else if(n==1){
//          return 1;
//          
//      }
//      else return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
//      
//  }

}

上面注释掉的代码为没有引入“空间”来进行数据的保存的代码。

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• 第二种：求出通项表达式进行求解（根据信号系统的知识）
  由于斐波那契的递归表达式为：F(n)=F(n-1)+F(n-2),可知其特征方程为：
  x^2+x=1;解得特征值为：x1=(1+sqrt(5))/2,x2=(1+sqrt(5))/2;于是可得其通解，最后根据初始值求得其参数即可求得F(n)关于n的表达式，因此，我们就可以在时间复杂度为O(1)的时间内求出F(n)
  但是当n较大的时候，所花费的时间还是巨大的，因此下面简单的介绍关于一个数的n次方的求法：二分求幂

/*一个数的二分求幂的思想如下：求a^n(a的n次方) 如果n是偶数(即n%2==0) 则原来的等价于(a*a)^(n/2) , 如果是奇数则 求 a^(n-1) * a　（此时n-1就变成了偶数了）。所以实现代码如下*/：

 power_n(int a , int n)
{
      if(n==0)
          return 1 ;
     else if(n==1)
         return a ;
     else if(n%2 == 0)
        return power_n(a*a , n>>1) ;
     else
        return a*power_n(a , n-1) ;
}
也可以用while实现：可以理解为将n幂级数展开了，循环第i次就利用了第i阶幂级数的系数。
long pow1_n(int a,int n)
{
    long d=1,t=a;
    while(n>0)
    {
        if(n%2==1)
            d=(d*t);
        n>>=1;
        t=t*t ;
    }
    return d;
}
这里的2分都用到了移位操作大大加快了速度。那么对于很多次数的幂运算就可以用二分幂运算去计算了复杂度为logn。

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• 第三种：分治策略进行求解(书上讲解的比较清晰)
  

就是利用了[F(n),F(n-1)]=[F(n-1),F(n-2)]*A;其中A为一个2*2的矩阵，
这样一个表达式，而得出了
[F(n),F(n-1)]=[F(1),F(0)]*(A^(n-1))，即求F(n)转换为了求矩阵A的
次幂，因此，实现代码与上面是类似的。
这个里面涉及到二阶矩阵乘法的运算，直接利用矩阵乘法的定义还是比较好实现的。如果涉及到高阶矩阵的乘法，则就应采用分块矩阵的乘法来进行解决了，在算法导论这本书上有详细的讲解，这里不再介绍