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二叉树前序、中序、后序遍历非递归写法的透彻解析

时间:2014-07-08 16:16:25      阅读:369      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:二叉树   遍历   非递归   算法      

前言

在前两篇文章二叉树二叉搜索树中已经涉及到了二叉树的三种遍历。递归写法,只要理解思想,几行代码。可是非递归写法却很不容易。这里特地总结下,透彻解析它们的非递归写法。其中,中序遍历的非递归写法最简单,后序遍历最难。我们的讨论基础是这样的:    

//Binary Tree Node
typedef struct node
{
	int data;
	struct node* lchild;  //左孩子
	struct node* rchild;  //右孩子
}BTNode;

首先,有一点是明确的:非递归写法一定会用到栈,这个应该不用太多的解释。我们先看中序遍历:

中序遍历

分析

中序遍历的递归定义:先左子树,后根节点,再右子树。如何写非递归代码呢?一句话:让代码跟着思维走。我们的思维是什么?思维就是中序遍历的路径。假设,你面前有一棵二叉树,现要求你写出它的中序遍历序列。如果你对中序遍历理解透彻的话,你肯定先找到左子树的最下边的节点。那么下面的代码就是理所当然的:

中序代码段(i)    

BTNode* p = root;  //p指向树根
stack<BTNode*> s;  //STL中的栈
//一直遍历到左子树最下边,边遍历边保存根节点到栈中
while (p)
{
	s.push(p);
	p = p->lchild;
}

保存一路走过的根节点的理由是:中序遍历的需要,遍历完左子树后,需要借助根节点进入右子树。代码走到这里,指针p为空,此时无非两种情况:

bubuko.com,布布扣

说明:

  1. 上图中只给出了必要的节点和边,其它的边和节点与讨论无关,不必画出。
  2. 你可能认为图a中最近保存节点算不得是根节点。如果你看过树、二叉树基础,使用扩充二叉树的概念,就可以解释。总之,不用纠结这个没有意义问题。
  3. 整个二叉树只有一个根节点的情况可以划到图a。
仔细想想,二叉树的左子树,最下边是不是上图两种情况?不管怎样,此时都要出栈,并访问该节点。这个节点就是中序序列的第一个节点。根据我们的思维,代码应该是这样:  
p = s.top();
s.pop();
cout << p->data;

我们的思维接着走,两图情形不同得区别对待:
1.图a中访问的是一个左孩子,按中序遍历顺序,接下来应访问它的根节点。也就是图a中的另一个节点,高兴的是它已被保存在栈中。我们只需这样的代码和上一步一样的代码:
p = s.top();
s.pop();
cout << p->data;
  
左孩子和根都访问完了,接着就是右孩子了,对吧。接下来只需一句代码:p=p->rchild;在右子树中,又会新一轮的代码段(i)、代码段(ii)……直到栈空且p空。

2.再看图b,由于没有左孩子,根节点就是中序序列中第一个,然后直接是进入右子树:p=p->rchild;在右子树中,又会新一轮的代码段(i)、代码段(ii)……直到栈空且p空。
思维到这里,似乎很不清晰,真的要区分吗?根据图a接下来的代码段(ii)这样的:
p = s.top();
s.pop();
cout << p->data;
p = s.top();
s.pop();
cout << p->data;
p = p->rchild;

根据图b,代码段(ii)又是这样的:
p = s.top();
s.pop();
cout << p->data;
p = p->rchild;

我们可小结下:遍历过程是个循环,并且按代码段(i)、代码段(ii)构成一次循环体,循环直到栈空且p空为止。  
不同的处理方法很让人抓狂,可统一处理吗?真的是可以的!回顾扩充二叉树,是不是每个节点都可以看成是根节点呢?那么,代码只需统一写成图b的这种形式。也就是说代码段(ii)统一是这样的:

中序代码段(ii)   

p = s.top();
s.pop();
cout << p->data;
p = p->rchild;

口说无凭,得经的过理论检验。
图a的代码段(ii)也可写成图b的理由是:由于是叶子节点,p=-=p->rchild;之后p肯定为空。为空,还需经过新一轮的代码段(i)吗?显然不需。(因为不满足循环条件)那就直接进入代码段(ii)。看!最后还是一样的吧。还是连续出栈两次。看到这里,要仔细想想哦!相信你一定会明白的。

这时写出遍历循环体就不难了:    
BTNode* p = root;
stack<BTNode*> s;
while (!s.empty() || p)
{
	//代码段(i)一直遍历到左子树最下边,边遍历边保存根节点到栈中
	while (p)
	{
		s.push(p);
		p = p->lchild;
	}
	//代码段(ii)当p为空时,说明已经到达左子树最下边,这时需要出栈了
	if (!s.empty())
	{
		p = s.top();
		s.pop();
		cout << setw(4) << p->data;
		//进入右子树,开始新的一轮左子树遍历(这是递归的自我实现)
		p = p->rchild;
	}
}

仔细想想,上述代码是不是根据我们的思维走向而写出来的呢?再加上边界条件的检测,中序遍历非递归形式的完整代码是这样的:

中序遍历代码一          

//中序遍历
void InOrderWithoutRecursion1(BTNode* root)
{
	//空树
	if (root == NULL)
		return;
	//树非空
	BTNode* p = root;
	stack<BTNode*> s;
	while (!s.empty() || p)
	{
		//一直遍历到左子树最下边,边遍历边保存根节点到栈中
		while (p)
		{
			s.push(p);
			p = p->lchild;
		}
		//当p为空时,说明已经到达左子树最下边,这时需要出栈了
		if (!s.empty())
		{
			p = s.top();
			s.pop();
			cout << setw(4) << p->data;
			//进入右子树,开始新的一轮左子树遍历(这是递归的自我实现)
			p = p->rchild;
		}
	}
}

恭喜你,你已经完成了中序遍历非递归形式的代码了。回顾一下难吗?
接下来的这份代码,本质上是一样的,相信不用我解释,你也能看懂的。

中序遍历代码二   

//中序遍历
void InOrderWithoutRecursion2(BTNode* root)
{
	//空树
	if (root == NULL)
		return;
	//树非空
	BTNode* p = root;
	stack<BTNode*> s;
	while (!s.empty() || p)
	{
		if (p)
		{
			s.push(p);
			p = p->lchild;
		}
		else
		{
			p = s.top();
			s.pop();
			cout << setw(4) << p->data;
			p = p->rchild;
		}
	}
}

前序遍历

分析

前序遍历的递归定义:先根节点,后左子树,再右子树。有了中序遍历的基础,不用我再像中序遍历那样引导了吧。
首先,我们遍历左子树,边遍历边打印,并把根节点存入栈中,以后需借助这些节点进入右子树开启新一轮的循环。还得重复一句:所有的节点都可看做是根节点。根据思维走向,写出代码段(i):

前序代码段(i)

//边遍历边打印,并存入栈中,以后需要借助这些根节点(不要怀疑这种说法哦)进入右子树
while (p)
{
	cout << setw(4) << p->data;
	s.push(p);
	p = p->lchild;
}

接下来就是:出栈,根据栈顶节点进入右子树。

前序代码段(ii)   

//当p为空时,说明根和左子树都遍历完了,该进入右子树了
if (!s.empty())
{
	p = s.top();
	s.pop();
	p = p->rchild;
}

同样地,代码段(i)(ii)构成了一次完整的循环体。至此,不难写出完整的前序遍历的非递归写法。

前序遍历代码一   

void PreOrderWithoutRecursion1(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	BTNode* p = root;
	stack<BTNode*> s;
	while (!s.empty() || p)
	{
		//边遍历边打印,并存入栈中,以后需要借助这些根节点(不要怀疑这种说法哦)进入右子树
		while (p)
		{
			cout << setw(4) << p->data;
			s.push(p);
			p = p->lchild;
		}
		//当p为空时,说明根和左子树都遍历完了,该进入右子树了
		if (!s.empty())
		{
			p = s.top();
			s.pop();
			p = p->rchild;
		}
	}
	cout << endl;
}

下面给出,本质是一样的另一段代码:

前序遍历代码二    

//前序遍历
void PreOrderWithoutRecursion2(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	BTNode* p = root;
	stack<BTNode*> s;
	while (!s.empty() || p)
	{
		if (p)
		{
			cout << setw(4) << p->data;
			s.push(p);
			p = p->lchild;
		}
		else
		{
			p = s.top();
			s.pop();
			p = p->rchild;
		}
	}
	cout << endl;
}

二叉树中使用的是这样的写法,略有差别,本质上也是一样的:

前序遍历代码三 

void PreOrderWithoutRecursion3(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	stack<BTNode*> s;
	BTNode* p = root;
	s.push(root);
	while (!s.empty())  //循环结束条件与前两种不一样
	{
		//这句表明p在循环中总是非空的
		cout << setw(4) << p->data;
		/*
		栈的特点:先进后出
		先被访问的根节点的右子树后被访问
		*/
		if (p->rchild)
			s.push(p->rchild);
		if (p->lchild)
			p = p->lchild;
		else
		{//左子树访问完了,访问右子树
			p = s.top();
			s.pop();
		}
	}
	cout << endl;
}

最后进入最难的后序遍历:

后序遍历

分析

后序遍历递归定义:先左子树,后右子树,再根节点。后序遍历的难点在于:需要判断上次访问的节点是位于左子树,还是右子树。若是位于左子树,则需跳过根节点,先进入右子树,再回头访问根节点;若是位于右子树,则直接访问根节点。直接看代码,代码中有详细的注释。

后序遍历代码一   

//后序遍历
void PostOrderWithoutRecursion(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	stack<BTNode*> s;
	//pCur:当前访问节点,pLastVisit:上次访问节点
	BTNode* pCur, *pLastVisit;
	//pCur = root;
	pCur = root;
	pLastVisit = NULL;
	//先把pCur移动到左子树最下边
	while (pCur)
	{
		s.push(pCur);
		pCur = pCur->lchild;
	}
	while (!s.empty())
	{
		//走到这里,pCur都是空,并已经遍历到左子树底端(看成扩充二叉树,则空,亦是某棵树的左孩子)
		pCur = s.top();
		s.pop();
		//一个根节点被访问的前提是:无右子树或右子树已被访问过
		if (pCur->rchild == NULL || pCur->rchild == pLastVisit)
		{
			cout << setw(4) << pCur->data;
			//修改最近被访问的节点
			pLastVisit = pCur;
		}
		/*这里的else语句可换成带条件的else if:
		else if (pCur->lchild == pLastVisit)//若左子树刚被访问过,则需先进入右子树(根节点需再次入栈)
		因为:上面的条件没通过就一定是下面的条件满足。仔细想想!
		*/
		else
		{
			//根节点再次入栈
			s.push(pCur);
			//进入右子树,且可肯定右子树一定不为空
			pCur = pCur->rchild;
			while (pCur)
			{
				s.push(pCur);
				pCur = pCur->lchild;
			}
		}
	}
	cout << endl;
}

下面给出另一种思路下的代码。它的想法是:给每个节点附加一个标记(left,right)。如果该节点的左子树已被访问过则置标记为left;若右子树被访问过,则置标记为right。显然,只有当节点的标记位是right时,才可访问该节点;否则,必须先进入它的右子树。详细细节看代码中的注释。

后序遍历代码二

//定义枚举类型:Tag
enum Tag{left,right};
//自定义新的类型,把二叉树节点和标记封装在一起
typedef struct
{
	BTNode* node;
	Tag tag;
}TagNode;    
//后序遍历  
void PostOrderWithoutRecursion2(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	stack<TagNode> s;
	TagNode tagnode;
	BTNode* p = root;
	while (!s.empty() || p)
	{
		while (p)
		{
			tagnode.node = p;
			//该节点的左子树被访问过
			tagnode.tag = Tag::left;
			s.push(tagnode);
			p = p->lchild;
		}
		tagnode = s.top();
		s.pop();
		//左子树被访问过,则还需进入右子树
		if (tagnode.tag == Tag::left)
		{
			//置换标记
			tagnode.tag = Tag::right;
			//再次入栈
			s.push(tagnode);
			p = tagnode.node;
			//进入右子树
			p = p->rchild;
		}
		else//右子树已被访问过,则可访问当前节点
		{
			cout << setw(4) << (tagnode.node)->data;
			//置空,再次出栈(这一步是理解的难点)
			p = NULL;
		}
	}
	cout << endl;
}<span style="font-family: 'Courier New'; ">  </span>

总结

思维和代码之间总是有巨大的鸿沟。通常是思维正确,清楚,但却不易写出正确的代码。要想越过这鸿沟,只有多尝试、多借鉴,别无它法。
以下几点是理解上述代码的关键:
  1. 所有的节点都可看做是父节点(叶子节点可看做是两个孩子为空的父节点)。
  2. 把同一算法的代码对比着看。在差异中往往可看到算法的本质。
  3. 根据自己的理解,尝试修改代码。写出自己理解下的代码。写成了,那就是真的掌握了。

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二叉树前序、中序、后序遍历非递归写法的透彻解析

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