斐波那契数列

递归实现

/**
 * @author 韦轩
 * @time 2015/07/26
 * @brief 递归求菲波那切数列的第N项
 * @param n,无符号的整数，要求的第N项
 * @return 返回第N项
 *  
 */
long long getNthNumberWithRecursion(unsigned int n)
{
    int result[2] = { 0, 1 };
    if (n < 2)
        return result[n];
    return getNthNumberWithRecursion(n - 1) + getNthNumberWithRecursion(n - 2);
}

• 时间复杂度：
  T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + O(1)，很容易得到T(n) = O(1.618 ^ n)（黄金分割点，(1+5√)/2 ）
• 空间复杂度取决于递归的深度是$O(N)$

迭代实现

/**
 * @author 韦轩
 * @time 2015/07/26
 * @brief 迭代求菲波那切数列的第N项
 * @param n,无符号的整数，要求的第N项
 * @return 返回第N项
 *  
 */
long long getNthNumberWithNoRecursion(unsigned int n)
{
    int result[2] = { 0, 1 };
    if (n < 2)
        return result[n];
    long long total = 0, first = 0, second = 1;
    for (unsigned int i = 2; i <= n; i++)
    {
        total = first + second;
        first = second;
        second = total;
    }
    return total;
}

-时间复杂度：$O(N)$
-空间复杂度：$O(1)$

矩阵实现

我们把Fibonacci数列中相邻的两项：F(n)和F(n - 1)写成一个2x1的矩阵，然后对其进行变形

$$\begin{bmatrix}Fn\\F(n-1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}F(n-1)+F(n-2)\\F(n-1)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1\times F(n-1)+1\times F(n-2)\\1\times F(n-1)+0\times F(n-2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}F(n-1)\\F(n-2)\end{bmatrix}$$
上面的式子可以继续化简
$$\begin{bmatrix}Fn\\F(n-1)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 1\\1&0\end{bmatrix}^{n-1}\times\begin{bmatrix}F1\\F0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 1\\1&0\end{bmatrix}^{n-1}\times\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$$
呃呃。。。
只要对这个二阶方阵求n - 1次方，最后取结果方阵第一行第一列的数字就是$Fn$的值。
注意：幂运算是可以二分加速的。
$$a^n = \begin{cases} \ a^{n/2}\times a^{n/2}, & \text{$n$ 偶数} \\[2ex] a^{n/2}\times a^{n/2}\times a, & \text{ $n$ 是奇数} \end{cases}$$
所以，时间复杂度是$logN$

/**
 * @author 韦轩
 * @time 2015/07/26
 * @brief 二维矩阵
 *  
 */
struct Matrix2By2
{
    long long m_00;
    long long m_01;
    long long m_10;
    long long m_11;

    Matrix2By2
        (
        long long m00 = 0,
        long long m01 = 0,
        long long m10 = 0,
        long long m11 = 0
        )
        :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11){}
};


/**
 * @author 韦轩
 * @time 2015/07/26
 * @brief 矩阵相乘
 * @param 两个矩阵
 * @return 矩阵相乘的结果矩阵
 *  
 */
Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2& matrix1,const Matrix2By2& matrix2)
{
    return Matrix2By2(
        matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
        matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
        matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
        matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}

/**
 * @author 韦轩
 * @time 2015/07/26
 * @brief 矩阵的N次方
 * @param 
 * @return
 */
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
    assert(n > 0);

    Matrix2By2 matrix;
    if (n == 1)
    {
        matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
    }
    else if (n % 2 == 0)
    {
        matrix = MatrixPower(n / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
    }
    else if (n % 2 == 1)
    {
        matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
    }

    return matrix;
}

/**
 * @author 韦轩
 * @time 2015/07/26
 * @brief 使用矩阵计算获得菲波那切数列的第N项
 * @param 
 * @return
 *  
 */
long long getNthNumberWithMatrix(unsigned int n)
{
    int result[2] = { 0, 1 };
    if (n < 2)
        return result[n];

    Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
    return PowerNMinus2.m_00;
}

• 时间复杂度：$O(logN)$
• 空间复杂度：$O(1)$