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Problem Definition:
Given a string S, find the longest palindromic substring in S.
You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.
Solution:
1) 暴力。把所有的子串全找出来，然后验真是否回文。找子串耗时O(n^2)来确定起点和终点；验真回文耗时O(n)。于是得到一个O(n^3)的算法（或许不叫算法）。
1 def longestPalindrome(s): 2 #brute-force TLE 3 mag,subLen,maxLen,subStr=len(s),2,1,[0,1]#[begin,length] 4 while subLen<=mag: 5 for i in range(mag-subLen+1): 6 if self.isPal(s[i:i+subLen]): 7 maxLen=max(maxLen,subLen) 8 subStr=[i,maxLen] 9 subLen+=1 10 return s[subStr[0]:subStr[0]+subStr[1]] 11 12 def isPal(s): 13 head,rear=0,len(s)-1 14 while head<=rear: 15 if s[head]!=s[rear]: 16 return False 17 head+=1 18 rear-=1 19 return True
2）动态规划。任何长度大于1的回文，必然可以由更小的回文扩展而来。用s[i....j]表示从i到j的这个子串，则有：
1._如果s[i+1...j-1]是回文，且s[ i ]==s[ j ]，则s[i...j]是回文。
2._如果s[i+1...j-1]不是回文，或者s[ i ]!=s[ j ]，则s[i...j]不是回文。
可以用一个表来记录子串是否是回文。tb=[ n ][ n ]， tb[ 2 ][ 2 ]==True表示从下标2开始到下标2结束的
子串(就是一个字符)是回文，tb[4][7]==True表示从下标4到下标7的串是回文。
这个解法耗时O(n^2)，空间复杂度也是O(n^2)。
1 def longestPalindrome(s): 2 #dp 3 begin,maxLen=0,1 4 tb=[[False]*len(s)]*len(s) 5 for i in range(len(s)): #subLen=1 6 tb[i][i]=True 7 for i in range(len(s)-1): 8 if tb[i][i]==tb[i][i+1]: #subLen=2 9 begin=i 10 maxLen=2 11 for subLen in range(3,len(s)+1): #subLen=[3-->len(s)] 12 for i in range(len(s)-subLen+1): #begin index 13 j=i+subLen-1 #end index 14 if s[i]==s[j] and tb[i+1][j-1]==True: 15 tb[i][j]=True 16 begin=i 17 maxLen=subLen 18 return s[begin:begin+maxLen]
3）从回文串对称轴扩展。我们知道回文字符串是对称的，因此任何一个回文字符串都可以从它的对称轴处开始扩展而来。
这里要注意的是，回文串的长度可能是奇数或偶数。奇数长度字符串的对称轴上是一个字符，比如aba；偶数长度字
符串对称轴上则是空隙，比如abba。因此有2n-1个位置可以作为对称轴（n个字符，n-1个空隙）。
此方法耗时O(n^2)，空间复杂度为常数。
1 def longestPalindrome(s): 2 lgst=s[0] 3 for i in range(len(s)-1): 4 s1=self.expCenter(s, i, i) 5 if len(s1)>len(lgst): 6 lgst=s1 7 s2=self.expCenter(s, i, i+1) 8 if len(s2)>len(lgst): 9 lgst=s2 10 return lgst 11 12 def expCenter(self, s, lft, rgt): 13 while lft>=0 and rgt<len(s) and s[lft]==s[rgt]: 14 lft-=1 15 rgt+=1 16 return s[lft+1:rgt]
4）还有更优的解法吗？ Manacher算法可以达到线性的时间复杂度。
LeetCode#5 Longest Palindromic Substring
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原文地址：http://www.cnblogs.com/acetseng/p/4683120.html
