如果 \(A\) 是大小为 \(m \times n\) 的实矩阵, $A$的精简形式的SVD分解为 \(A = U\Sigma V^T\). 那么$A$的零空间，列空间， 行空间 分别为 \({\cal N}(A) = {\rm span}(V)^\perp\), \({\cal R}(A) = ...
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2021-06-08 23:12:46
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如果$A$和$B$四个子空间相同，那么$A = cB$。这道判断是错的。 原因：$A$和$B$可以是任何$6 \times 6$可逆矩阵，它们的行空间和列空间都是整个$R^6$，零空间和左零空间都是零向量。 行空间与零空间的交集只有零向量，它们是正交的。 ...
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2021-03-04 13:19:24
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列空间的basis是消元时的主列（pivot） 行空间的basis就是消元得到行最简形对应的非零行； 零空间的basis是自由列F 左零空间basis是对应矩阵左乘E行变换时得到行最简形对应的零行时E对应行。 空间的维数就是由这些主列/或者是自由列/行的数目确定的 而主列的个数就是矩阵的秩 什么是R ...
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2020-05-14 13:46:16
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线性代数的本质，源视频 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E [TOC] 行列式 我们已经知道了矩阵的线性变换的意义，我们这节来学习行列式。 我们现在想象一些线性变换，有一些将空间向外拉伸，有些将空间向内挤压。 我们需要测量一个区域被拉伸或者被挤压的 ...
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2020-04-08 19:12:24
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## 概述
讨论矩阵的四个基本子空间，通过维数和基来深入了解四个子空间。 ## 列空间
列空间我们都熟悉了，就是矩阵列线性组合组成的空间。 - 位于: $R^m$空间
- 维数：r - 一组基：主元列 ## 零空间
零空间也并不陌生，使$Ax=0$的所有x组成的空间 - 位于: $R^n$空间
- ... ...
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2020-03-14 13:07:58
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## 向量空间 向量构成的空间就是向量空间，这个空间必须对加法和数乘封闭，即取控件中两个向量相加结果还在空间内，取一个数乘向量结果还在空间内。 如$R^3$，是一个向量空间，由实数组成，每个向量有3个元素。 > 注意： 如果没有0向量，那么一定不是向量空间，0向量对加法和数乘都很关键。 > > * ... ...
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2020-03-14 10:56:57
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如何解一个无解的方程 $Ax=b$ 的解 基础的的解决方案是： $A^TA \hat{x} = A^T b$ rank ($A^TA$) = rank($A$)， Null($A^TA$)= Null($A$) 换句话说，如果A是列满秩的，即零空间里只有0向量，那么$A^TA$可逆的 ...
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2019-05-07 14:26:55
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参考资料： 网易公开课：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html 麻省理工公开课：线性代数 一、向量空间和子空间（加法封闭、数乘封闭） 向量空间$R^3$的子空间：$R^3$、任意经过原点$(0, 0, 0)$的平面$P$和直线$L$、只包 ...
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2019-01-23 00:14:26
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线性代数导论-#11 基于矩阵A生成的空间：列空间、行空间、零空间、左零空间 本节课介绍和进一步总结了如何求出基于一个m*n矩阵A生成的四种常见空间的维数和基： 列空间C(A)，dim C(A) = r，基 = { U中主元列对应的原列向量 }； 行空间C(AT)， dim C(AT) = r，基 ...
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2018-02-11 19:58:16
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源: 线性代数的本质 To ask the right question is harder than to answer it. -Georg Cantor 印象中，我在视频里曾看到过这样的两句话（没有经过核实），其中一句是“向量是线性变换的载体”，另外一句是“当线性变换作用于空间······”。 ...
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2018-01-05 22:06:16
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