试题:设非负实数$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2\geq 3$.证明:$(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca)$. 证明:设$t=ab+bc+ca>0$,则由题意 $(a+b+c)^6=(a^2+b^2+c^2+2t)^3\geq (3+2t)^3$, 而$(3+2t)^3-8 ...
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2016-08-01 09:12:23
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若抛物线 $G$: $y = ax^2 + bx+ c$的图像经过$(-5, 0), \left(0, \displaystyle{5\over2}\right), (1, 6)$ 三点. $Q(x, y)$ 是直线 $l$: $y = 2x - 3$ 上的动点, $P$ 是与 $l$ 平行的直线 ...
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2016-07-19 16:55:39
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7月7日到9日，第二届国际仿真机器人奥林匹克大赛暨TRCC第五届全国机器人创意设计大赛总决赛将在青岛举行。记者从电博会组委会了解到，这是该项赛事首次将决赛放在青岛举办，届时将有来自全世界100个国家的机器人在青岛进行最后的角逐。电博会第二届机器人大赛也将同期举办，为青岛本地机器人企业搭建与外部交流的 ...
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2016-07-07 19:29:13
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1. 设 $D, E$ 是 $\triangle{ABC}$ 的边 $BC$ 上两点, 且 $BD = EC$, $\angle{BAD} = \angle{EAC}$. 求证: $\triangle{ABC}$ 是等腰三角形. (俄罗斯) HINT: 由 $BD = EC$ 且共线, 考虑平移 $ ...
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2016-06-13 15:26:43
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在已知正方形 $ABCD$ 内, 作等边三角形 $ABK, CDM, BCL, DAN$. 证明: 四条线段 $KL, LM, MN, NK$ 的中点及八条线段 $AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN$ 的中点是一个正十二边形的12个顶点. (IMO 19.1) 分析: 设该 ...
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2016-06-07 22:16:43
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设 $AC, CE$ 是正六边形 $ABCDEF$ 的两条对角线, 点 $M, N$ 分别内分 $AC, CE$ 的比为: $\displaystyle{AM\over AC} = {CN\over CE} = r$. 如果 $B, M, N$ 三点共线. 试求 $r$. (IMO 23.5) 分析 ...
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2016-06-07 01:15:51
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已知: 非等腰 $\triangle{ABC}$, $BD, CE$ 分别是 $AC,AB$ 边上的高, $F$ 是 $BC$ 边上的中点, $EF, DF$ 的中点分别是 $M,N$, $I$ 是 $MN$ 上一点, 且满足 $AI\parallel BC$. 求证: $IA = IF$. 分析: ...
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2016-05-30 08:50:21
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已知: $\triangle{ABC}$ 中有一点 $P$, $\angle{PAB} = 10^{\circ}$, $\angle{PBA} = 20^{\circ}$, $\angle{PBC} = 40^{\circ}$, $\angle{PAC} = 70^{\circ}$. 求 $\ang ...
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2016-05-28 08:51:30
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一个正整数的1000倍恰有1000个约数, 那么这个正整数自身最少有多少个约数? 解答： 设该正整数为 $n$, 由 $1000 = 2^3\times5^3$, 可设 $n = 2^a \times 5^b \times m$， 其中 $a, b\in\mathbf{N}$, $m\in\math ...
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2016-05-24 20:31:25
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已知：等腰梯形 $ABCD$ 中, $AD\parallel BC$, 在 $AB$ 外作正方形 $ABPQ$, 在 $CD$ 外作正方形 $CDRS$, $QR$ 交 $AD$ 于 $E$, $PS$ 交 $BC$ 于 $F$. 求证: $EF\perp BC$. 分析: 由等腰梯形及正方形性质, ...
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2016-05-22 10:58:49
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