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五一前就筹划着写下这篇文章，但是迫于自己从来没有实现过B-树(如果大家感兴趣，我可以考虑写一篇B+树的文章)，手中没有源代码，另外自己以前对B-树也是一知半解状态中，担心误人子弟，在4月30日终于把代码写完，今天调完之前的bug之后，那种感觉就像在鸟无人烟的大荒漠中走了好久，看到一间有水的屋子，长舒一口气！好的废话不多说，下面直接切入正题！
链表，树，图是最基本的数据结构了，链表有单链表、双链表，有环和无环等等；树有二叉树、多叉树，平衡树、不平衡树等等；图有有向、无向图等等。如果把算法建模看成是建筑师建造一座大厦，那么数据结构就是地基，地基的好坏直接关系到房子能建多高。
今天我们要讲到的是树的一种，即B-树。要说B-树，就必然要说平衡二叉树，否则这是不科学的，没有平衡二叉树哪来B-树。它的定义是这样的：
平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），且具有以下性质：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
图一
这个是一颗典型的平衡二叉树，对根节点50而言，左右子树的高度都是3，高度差绝对值不超过1；对左子树而言，根节点是17，但是他的左右两子树高度都是2，差的绝对值也不超过1.我们递归的观察，显然它符合平衡二叉树的基本条件。
如果我们把右子树剪掉，他就不是平衡二叉树了。左边高度为3，右边高度为0；3-0=3>1.
图二
OK，说到这里，我想我们可以讲讲B-树了。B-树其实可以理解为多叉平衡树！它的定义是这样的：(其中T一般大于3)
1)不仅高度平衡，而且所有的叶子节点都在同一层。
2)除根节点外其他每个节点最少保存(T-1)个关键字，至多保存(2T-1)个关键字；至少保存(T)个孩子结点，至多(2T)个孩子结点。
3)对于关键字K而言，左孩子结点的所有关键字都小于K，右孩子结点的所有关键字都大于K。在同一个结点上，关键字是从小到大依次排列。结点中除叶子节点关键字外，均有左右孩子。
随便提一下，现在有很多B-树的变形，有些要求每个节点至少保存2/3(2T-1)个关键字等等，也是可以的。
如下图就是一颗典型的B-树：
图三
OK，对于B-树，想必大家有了一个直观的认识。那么B-树有什么用呢？当今社会太浮躁了，没用的东西留着干嘛？果断弃之。显然B-树是非常有用的。大家用数据库进行开发吗？如果你用，那么其实你每天都在用B-树有没有，因为大部分数据库的底层实现都是用B-树。
B-树对大数据特别有用，特别是查询情况多的时候（比如数据库）；因为一旦数据量特别大之后，内存肯定不能把所有数据都装到内存中，我们唯有通过硬盘存储，存储在硬盘中之后，怎样才能高效的进行查询呢？我们仔细观察B-绝对是一个很好的选择，因为它最糟糕的时候效率都是logT(N);硬盘的速度相对内存来说是比较慢的，较少一次硬盘读取对用户体验是一个莫大的支持！
老规矩：如果需要全部源代码请点赞后留下email地址。
其实基于B-的数据库，数据操作基本可以归纳为四个部分：
读取硬盘数据：根据给定页面Id读取硬盘数据到内存，然后返回内存相应位置；
硬盘写操作：给定内存需写入数据地址信息，写入到给定页面id硬盘中。
申请硬盘页面：如果页面中id不存在，开拓硬盘页面，然后返回内存地址。
释放页面：给定一个硬盘页面id,释放该资源。
OK，我们了解到了B-树的重要性之后，也就知道了学习B-树的现实意义了。那我们现在可以继续开扒了。
B-树应该怎么设计呢？看了B-树的定义之后，B-树数据结构应该包括：1)关键字个数，2)指向父节点的指针,3)关键字集合,4)孩子结点集合。
根据以上论述，我们把B-树的数据结构代码化之后如下：
1 struct BTreeNode{
2 int keyNum;//关键字个数。
3 BTreeNode* parentNode;//父结点指针
4 vector<NodeValueType> nodeValues;
5 vector<BTreeNode*> childs;
6 BTreeNode(){
7 keyNum=0;
8 parentNode=NULL;
9 }
10 };
对于B-树而言最常用的就是增删改查了。改可以认为是删，然后增。所以可以理解成主要操作有增、删、查！下面分三部分详解他们。
B-树的查询操作：
B-树的查询可以从根节点开始查找，根节点没有查到，再查找某一个孩子结点。
因为B-树结点都有很多孩子节点，查找哪个孩子结点就显得特别重要了，总不能乱查吧。它应该是查找第一个比关键字大的左结点，如果没有一个比该关键字大的关键字，则查找最右孩子。如此递归。直到查到叶子结点，如果叶子结点也没有找到，那么B-树中不存在该关键字。
比如对于图三，查找关键字G。首先在根节点中查找，根节点只有M一个关键字，显然不符合条件。查找到第一个大于G的关键字，这里M比G大，所有积蓄查找M的左子树，左子树的根节点关键字有：D、H。同样第一个比G大的是H。H的左孩子结点关键字是F、G。这样，G被找到了。返回。
图四
算法具体描述为：
1 bool SearchBTreeByValue(BTreeNode* q,NodeValueType k){
2 int i=0;
3 while(i<q->keyNum&&q->nodeValues[i]<=k){
4 if (q->nodeValues[i]==k){
5 return true;//相等则返回q
6 }
7 i++;
8 }
9 if (!q->childs.size()){
10 return false;//没有找到直接返回NULL
11 }
12 return SearchBTreeByValue(q->childs[i],k);
13 }
B-树的增加(插入)操作
【插入操作要寻找到叶子节点插入】因为B-树中最多只能保存2T-1个关键字，如果当前的关键字个数已经达到2T-1，还需插入一个的话就需要分裂成两个结点。如下图，T=2.如果还需插入一个18.由于结点X已经有3个关键字了。已经full了。如果还需要插入18，就不符合条件了，就需要分裂成两个结点，同时增加一层。再进行插入。也可以插入完成后，再分裂。最终还是要分裂。
如果B-树没有满的话，直接插入就好。
图五
图六
1 BTreeNode* InsertNodeToBTreeByValue(BTreeNode* p,NodeValueType theValue){
2 if (SearchBTreeByValue(p,theValue)){
3 cout<<theValue<<"已经存在了，骚年！"<<endl;
4 return p;
5 }
6 while(p->childs.size()!=0){//一直找到叶子结点
7 int i=0;
8 while(i<p->keyNum&&p->nodeValues[i]<theValue){
9 i++;
10 }
11 p=p->childs[i];
12 }
13 p->nodeValues=InsertKeyToNodeByValue(p->nodeValues,theValue);//插入到当前叶子结点
14 p->keyNum++;
15 return adjustBTree(p);//使得最大不超过maxKey
16 }
B-树的删除操作
说实话，删除操作比增加操作复杂多了，这也是我的程序一直出现bug的地方。假设要在结点x中删除关键字k。
因为删除操作需要考虑删除后结点会少于T-1和树不平衡的情况。
删除操作主要考虑三种情况：
1)x是叶子结点，包含k
2)x是内部结点，包含k
3)x是内部结点，不包含k.
对于1)，直接删除，同时更新keynum;
对于2)，考虑k的左右孩子，
若有一个孩子的关键字个数大于T-1,若左孩子y，用最右边的关键字和k交换，同时递归删除delete(y,k);
若右孩子(z)数大于T-1，则递归删除delete(z,k);
若左右孩子都等于T-1，则需要合并左孩子，k，右孩子，同时删除右孩子。
对于3)，y=x.child[k];若y的关键字个数大于T-1,则递归删除delete(y,k)
若y的关键字个数等于T-1,则寻找他的兄弟节点，兄弟节点若有大于T-1个数的，补一个过来。
若没有的话，就进行和其中兄弟节点合并，再递归delete.
1 BTreeNode* DeleteBTreeNode(BTreeNode* p,NodeValueType theValue){ 2 int theValueOrderInNode=GetOrderInNodeByValue(p,theValue);//返回当前序号，theValueOrderInNode 3 //BTreeNode* w=p->parentNode; 4 if (theValueOrderInNode!=-1&&p->childs.size()==0){ 5 p->nodeValues.erase(p->nodeValues.begin()+theValueOrderInNode,p->nodeValues.begin()+theValueOrderInNode+1); 6 p->keyNum--; 7 return GetBTreeRoot(p); 8 }else if (theValueOrderInNode==-1){//该结点中不存在theValue 9 int i=0; 10 while(i<p->keyNum&&p->nodeValues[i]<theValue){ 11 i++;//得到第I个孩子。 12 } 13 BTreeNode* y=p->childs[i];//找到i+1个孩子结点 14 if (y->keyNum>atLeastKeyNum){ 15 return DeleteBTreeNode(y,theValue); 16 }else if(y->keyNum==atLeastKeyNum){ 17 BTreeNode* leftSlibing=new BTreeNode(),*rightSlibing=new BTreeNode();//左右结点出现啦！ 18 leftSlibing=NULL,rightSlibing=NULL; 19 if (i!=0){//有左兄弟 20 leftSlibing=p->childs[i-1]; 21 } 22 if (i!=p->keyNum){//有右兄弟 23 rightSlibing=p->childs[i+1]; 24 } 25 if (leftSlibing!=NULL&&leftSlibing->keyNum>atLeastKeyNum){//左兄弟移动一个到y中 26 y->nodeValues.insert(y->nodeValues.begin(),p->nodeValues[i-1]); 27 y->keyNum++; 28 p->nodeValues[i-1]=leftSlibing->nodeValues[leftSlibing->keyNum-1]; 29 if (y->childs.size()!=0){ 30 y->childs.insert(y->childs.begin(),*(leftSlibing->childs.end()-1)); 31 leftSlibing->childs.erase(leftSlibing->childs.end()-1,leftSlibing->childs.end()); 32 } 33 leftSlibing->nodeValues.erase(leftSlibing->nodeValues.end()-1,leftSlibing->nodeValues.end()); 34 leftSlibing->keyNum--; 35 return DeleteBTreeNode(y,theValue); 36 }else if(rightSlibing!=NULL&&rightSlibing->keyNum>atLeastKeyNum){//右兄弟移动一个到y中 37 y->nodeValues.insert(y->nodeValues.end(),p->nodeValues[i]); 38 y->keyNum++; 39 if (y->childs.size()!=0){ 40 y->childs.insert(y->childs.end(),*(rightSlibing->childs.begin())); 41 rightSlibing->childs.erase(rightSlibing->childs.begin(),rightSlibing->childs.begin()+1); 42 } 43 p->nodeValues[i]=rightSlibing->nodeValues[0]; 44 rightSlibing->nodeValues.erase(rightSlibing->nodeValues.begin(),rightSlibing->nodeValues.begin()+1); 45 rightSlibing->keyNum--; 46 return DeleteBTreeNode(y,theValue); 47 }else{//合并成一个 48 if (leftSlibing!=NULL){//同左合并 49 leftSlibing->nodeValues.insert(leftSlibing->nodeValues.end(),p->nodeValues[i-1]); 50 leftSlibing->keyNum++; 51 p->nodeValues.erase(p->nodeValues.begin()+i-1,p->nodeValues.begin()+i); 52 MoveBTreeNode(leftSlibing,y); 53 p->childs.erase(p->childs.begin()+i-1,p->childs.begin()+i); 54 p->keyNum--; 55 if (p->keyNum==0){ 56 leftSlibing->parentNode=NULL; 57 } 58 return DeleteBTreeNode(leftSlibing,theValue); 59 }else{//同右合并 60 y->nodeValues.insert(y->nodeValues.end(),p->nodeValues[i]); 61 y->keyNum++; 62 p->nodeValues.erase(p->nodeValues.begin()+i,p->nodeValues.begin()+i+1); 63 MoveBTreeNode(y,rightSlibing); 64 p->childs.erase(p->childs.begin()+i+1,p->childs.begin()+i+2); 65 p->keyNum--; 66 if (p->keyNum==0){ 67 y->parentNode=NULL; 68 } 69 return DeleteBTreeNode(y,theValue); 70 } 71 } 72 } 73 }else if (theValueOrderInNode!=-1){//在该结点中找到了。 74 BTreeNode* leftChild=GetPreChildByNodeValue(p,theValue); 75 BTreeNode* rightChild=GetSuccessByNodeValue(p,theValue); 76 if (leftChild!=NULL&&leftChild->keyNum>atLeastKeyNum){//左 77 p->nodeValues[theValueOrderInNode]=leftChild->nodeValues[leftChild->keyNum-1]; 78 leftChild->nodeValues[leftChild->keyNum-1]=theValue; 79 //leftChild->parentNode=p; 80 return DeleteBTreeNode(leftChild,theValue); 81 } 82 else if (rightChild!=NULL&&rightChild->keyNum>atLeastKeyNum){//右 83 p->nodeValues[theValueOrderInNode]=rightChild->nodeValues[0]; 84 rightChild->nodeValues[0]=theValue; 85 //rightChild->parentNode=p; 86 return DeleteBTreeNode(rightChild,theValue); 87 } 88 else if (leftChild!=NULL){//需要合并了 89 leftChild->nodeValues.insert(leftChild->nodeValues.end(),p->nodeValues[theValueOrderInNode]); 90 leftChild->keyNum++; 91 MoveBTreeNode(leftChild,rightChild);//从左移到右 92 p->nodeValues.erase(p->nodeValues.begin()+theValueOrderInNode,p->nodeValues.begin()+theValueOrderInNode+1); 93 p->childs.erase(p->childs.begin()+theValueOrderInNode+1,p->childs.begin()+theValueOrderInNode+2); 94 p->keyNum--; 95 if (p->keyNum==0){ 96 leftChild->parentNode=NULL; 97 } 98 return DeleteBTreeNode(leftChild,theValue); 99 } 100 } 101 return NULL; 102 }
操作数据：用106,103,109,130,145,165,42,60,136,107,108对B-树进行初始化。然后再进行查找删除操作。
图七
参考文献：http://zgking.com:8080/home/donghui/publications/books/dshandbook_BTree.pdf
http://webdocs.cs.ualberta.ca/~holte/T26/del-b-tree.html
http://www.cs.nott.ac.uk/~nza/G52ADS/btrees2.pdf
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