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Bellman-Ford算法(最短路径)

时间:2014-05-08 21:13:08      阅读:335      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法,但它局限于边的权值非负的情况,若图中出现权值为负的边,Dijkstra算法就会失效,求出的最短路径就可能是错的。

这时候,就需要使用其他的算法来求解最短路径,Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德?贝尔曼(Richard Bellman, 动态规划的提出者)和小莱斯特?福特(Lester Ford)发明。

适用条件&范围:

 

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

 

Bellman-Ford算法的流程如下:
给定图G(V, E)(其中VE分别为图G的顶点集与边集),源点s数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度,初始化数组Distant[n], Distant[s]0

以下操作循环执行至多n-1次,n为顶点数:
对于每一条边e(u, v),如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v],则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)w(u, v)为边e(u,v)的权值;
若上述操作没有对Distant进行更新,说明最短路径已经查找完毕,或者部分点不可达,跳出循环。否则执行下次循环;

为了检测图中是否存在负环路,即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v),如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边,则图中存在负环路,即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知,Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

BellmanFord算法可以大致分为三个部分
第一,初始化所有点。每一个点保存一个值,表示从原点到达这个点的距离,将原点的值设为0,其它的点的值设为无穷大(表示不可达)。
第二,进行循环,循环下标为从1n1n等于图中点的个数)。在循环内部,遍历所有的边,进行松弛计算。
第三,遍历途中所有的边(edgeuv)),判断是否存在这样情况:
dv) > d (u) + w(u,v)
则返回false,表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因,是因为,如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。 

测试代码如下:(下面为有向图的Bellman-Ford算法。。。。。)

 

#include<iostream>   

#include<cstdio>   

using namespace std;  

  

#define MAX 0x3f3f3f3f   

#define N 1010   

int nodenum, edgenum, original; //点,边,起点   

  

typedef struct Edge //边   

{  

    int u, v;  

    int cost;  

}Edge;  

  

Edge edge[N];  

int dis[N], pre[N];  

  

bool Bellman_Ford()  

{  

    for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化   

        dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);  

    for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)  

        for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)  

            if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛(顺序一定不能反~)   

            {  

                dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;  

               pre[edge[j].v] = edge[j].u;  

           }  

            bool flag = 1; //判断是否含有负权回路   

            for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)  

                if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)  

                {  

                    flag = 0;  

                    break;  

                }  

                return flag;  

}  

  

void print_path(int root) //打印最短路的路径(反向)   

{  

    while(root != pre[root]) //前驱   

    {  

        printf("%d-->", root);  

        root = pre[root];  

    }  

    if(root == pre[root])  

        printf("%d\n", root);  

}  

  

int main()  

{  

    scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);  

    pre[original] = original;  

    for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)  

    {  

        scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);  

    }  

    if(Bellman_Ford())  

        for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路   

        {  

            printf("%d\n", dis[i]);  

            printf("Path:");  

            print_path(i);  

        }  

    else  

        printf("have negative circle\n");  

    return 0;  

}  

 

 

测试数据:

 

4 6 1
1 2 20
1 3 5
4 1 -200
2 4 4
4 2 4
3 4 2

和:

4 6 1
1 2 2
1 3 5
4 1 10
2 4 4
4 2 4
3 4 2

Bellman-Ford算法(最短路径),布布扣,bubuko.com

Bellman-Ford算法(最短路径)

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原文地址:http://www.cnblogs.com/ngyifeng/p/3709479.html

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