最长公共子序列问题—— 动态规划法

标签：动态规划   最长公共子序列   

分析：在数组c中使用了多余的一行c[0]和多余的一列c[][0]，这样做的好处是，这一行和这一列赋上初值0之后，会简化后面的计算，因为上面的分析下一步的最优解可能来自于左上、上、左三个方向的值。可以看到c[][]数组中每一个位置上的值都是两个序列长度分别为i和j时最长子序列的值。

程序为：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;
    
    for(i = 0; i <= m; i++) /*冗余的列赋初值为0*/
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++) /*冗余的行赋初值为0*/
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i<= m; i++)
    {
        for(j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(x[i-1] == y[j-1]) /*来自性质(1)*/
            {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 0;
            }
            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) /*来自性质(2)*/
            {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 1;
            }
            else /*来自性质(3)*/
            {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = -1;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j)
{
    if(i == 0 || j == 0)
        return;
    if(b[i][j] == 0)
    {
        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
        printf("%c ", x[i-1]);
    }
    else if(b[i][j] == 1)
        PrintLCS(b, x, i-1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j-1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
    char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};
    char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m, n;
    
    m = strlen(x);
    n = strlen(y);
    
    LCSLength(x, y, m, n, c, b); /*计算最长公共序列*/

	/*输出最长公共序列，可能有多个解，这里只输出一个*/
	printf("Answer is: ");
	PrintLCS(b, x, m, n); 
	printf("\n");
    
    return 0;
}

注意：程序的解可能远不止这一个，因为从图上可以至少再得出BCAB以及BDAB两个解，如果要得出每一个解，需要完善的地方是在c[][]最后一行和最后一列，有许多值都跟c[m][n]也就是其最后一个单元的值一致，这种一致的值也可能是一个最优解（当然也可能是重复的），最优的解一定都在这两条直线上，因为有c[i][j] >= c[i-1][j]、c[i][j] >= c[i][j-1]、c[i][j] > c[i-1][j-1]总是成立。另外在程序中当x[i-1] != y[j-1]，本来应该取左方的值或者上方的值，但是左方的值和上方的值有可能是相等的，程序中并没有单独处理，这个时候可以用一个判等的将方向的数组b赋值为2（只要不是0,1,-1即可），表示这个值可以接收来自两个方向，这样才能保证解的完整性，这里就不具体实现了。

参考博文：http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630

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最长公共子序列问题—— 动态规划法

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原文地址：http://blog.csdn.net/laoniu_c/article/details/38458335