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奇特的数学问题(转)

时间:2017-07-09 12:29:42      阅读:223      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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来源 | 世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛组委会

 

1、三门问题(蒙提霍尔问题) 

 

假如你正在参加一个节目。主持人给了你三扇门,其中一扇门里面是一款崭新的汽车,另外两扇门里面都是一只羊。你选择了其中一扇,然后,主持人打开你未选的另外两扇门里是羊的那一扇,然后——

 

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主持人问你:你是否要换一扇门?还是就要你刚才选的那一扇?

 

你会怎么做?

 

你第一反应一定是就要你刚才选的那一扇。

 

到目前为止,一切都没有问题,对吧?

 

因为现在只有两扇门了,你可以推断出,有一半的机会赢得那辆车。对吗?

 

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你错了??

 

这个游戏的最佳策略就是“换门”,每次都换。

 

如果你每次都换,只有当你第一次选的那扇门里就是车的时候你才会输。

 

因为你第一次选中车的几率是1/3,而每次都换你输掉的几率也是1/3。

 

这就意味着,如果你每次都换的话,赢得几率就有2/3。

 

换门赢的几率是不换门赢的几率的两倍。

 

还不信吗?这么说吧,假如你选的是一号门,请看下面所有可能发生的情况:

 

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如果你不换门,三种情况只有一种情况能赢;如果换门,就有两种情况能赢。

 

你还不信?

 

那我们换成50扇门再做一遍。你不选一号门。

 

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我把其他是羊的48扇门都亮给你。对你的选择还那么有信心吗?别忘了:你第一次选对的机会只有1/50。道理完全是一样的。

 

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2、0.999...=1

 

无限循环小数0.999...等于1。

 

有许多的证法都可以证明这个等式,但仍然有很多的人纠结这个概念,下面就是一个很好的正面:

 

x=0.999...

10x=9.999...

10x-x=9.999...-0.999...

9x=9

x=1

 

很多人纠结这个理念的原因,是我们人类的思维很难去理解“无限”这个概念。在某种层面上,大多数人只是想象最终总会以一个“9”结束。

 

数字这东西总是换种方式表达就会看起来不大一样,当然这个也不例外。

 

这其中的原因是和“无限”与“有限”的概念紧密关联的,光这些就够我们大伤脑筋的了。

 

下面是另外一种证法:

1/3=0.333...

3×1/3=3×0.333...

1=0.999...

 

3、偶数和自然数一样多

 

偶数和自然数一样多。

 

表示事物个数的数叫做自然数,如1,2,3,4等等。

 

自然数的数量是无限的。偶数的数量也是无限的。

 

你或许会想象自然数要比偶数多,因为自然数由奇数和偶数组成。

 

那你就错了。

 

我们可以在自然数和偶数之间建立一个一对一的对应关联式,这个关联式将告诉你,每个自然数都有一个与其对应的偶数。

 

我们可以这样想:每个自然数都有一个等于它两倍的偶数,而每个偶数也都有一个等于它一半的自然数:

 

1<---->2

2<---->4

3<---->6

4<---->8

5<---->10

6<---->12

7<---->14

8<---->16

 

 

这是什么意思呢?

 

就是说,每一个自然数,都有一个与之对应的偶数。

 

这就是说,这两个无限集的大小是相等的,我们称之为“可数无限集”

 

这就将其与“不可数无限集”如“实数集”或“复数集

”区分开了。

 

例如,我们不能再自然数和实数之间建立一个一对一的对应关联式。

 

其他的可数无限集还包括:有理数集合奇数集。

 

 

4、本福特定律

 

在实际的数字中,数字“1”作为首位数字出现的几率是30%.

 

1938年,物理学家福兰克·本福特(Frank Benford)首次在一组数字中发现,首位数字是“1”的情况总是占大多数。

 

其他数字出现在首位的情况则呈如下对数分布:

 

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这是一种普遍观察到的现象。

 

该分布图被用于侦测数据异常,包括:

--伊朗选举欺诈     

--经济数据造假      

--会计账务伪造

 

这种现象也可以在以下集合中观察到:

--斐波那契数     

--(1,1,2,3,5,8,13,21,34...)

--阶乘                

--2的幂

 

 

5、生日悖论

 

我们假设你工作在一个23人的办公室。

 

那么,你办公室中两个人生日相同的几率是多少呢?(为使问题简化,我们排除2月29日)

 

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答案是:两个人生日相同的几率是50%.

 

只要一个人群达到366人,那么从统计学的角度就可以确定 有两个人生日相同。因为只有365种可能的生日(排除2月29日)。

 

然而有趣的是,所有生日都是等概率分布的,只要一个人群有57人,那么两个人生日相同的机率就可以达到99%.

 

 

这是怎么推算出来的呢?

 

让我们再回到那个23人的办公室,来看一看是怎么回事。

 

我们要进行一下反概率运算,即计算一群人中没人生日相同的机率,来推算出我们想要的有生日相同的机率。

 

如果我们正面硬求解的话,要推算出办公室中两人生日相同的机率是很困难的。

 

而要计算出一群人中没人生日相同的机率则是非常非常容易的。

 

两个人生日不同的机率是这样算的:

 

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三个人中没人生日相同的机率就是这样算的:

 

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四个人中没人生日相同的机率是这样算的:

 

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我们以此推算会得到什么结果呢?那就是,23个人中没人生日相同的机率是:

 

 

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这时候就意味着,既然没人生日相同的机率是49.3%,那么至少有两人生日相同的机率就是50.7%.

 

下面就是概率(机率)曲线的样子:

 

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6、会计/管道工问题

 

“上礼拜,我公寓跟冰窖似的,因为我的暖气坏了。”

 

“我就去找了个人,让他看一下暖气,他用了一堆备件就把它修好了。我就付了他维修费。“那这个人很可能是:会计?还是...会计及管道工?

 

答案是:这个人很可能是会计。

 

因为从场景中,这个人可能是管道工,所以你就直觉第认为他是管道工。

 

但是,一个人是“会计及管道工”,那他也还是会计。

 

参照下面的图想一想:

 

 

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严格地讲,相对于管道工,他更可能是会计。因为:

 

而他是“会计”的概率里面还包含着他只是“会计而不是管道工”的概率B.

 

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严格地讲,相对于管道工,他更可能是会计。因为:

 

A代表给我修暖气的那个人是“会计及管道工”的概率。

 

A+B的和代表给我修暖气的是“会计”的概率。

 

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严格地讲,相对于管道工,他更可能是会计。因为:

 

A≤A+B,从概率学的角度讲,给我修暖气的人更可能是会计。

 

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7、贝特朗箱子悖论

 

我有三个箱子,每个箱子都有两个隔档。

 

 第一个箱子里面是两块金条

 

 第二个箱子里面是两块银条

 

 第三个箱子里面是一块金条和一块银条

 

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你随机抽取一个箱子,然后随机打开一个隔档。

 

如果里面是金条,那另外一个隔档里是金条的概率是多少?

 

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你的第一反应一定是:1/2

 

因为只有两个箱子里面有金条,你就想,我一定选中了其中一个。

 

又因为其中一个箱子里面是一块金条和一块银条,所以,另外一个隔档里面是金条的概率就是1/2.

 

对吗?

 

 

你错了!

 

实际上比那要复杂得多。要推算出为什么不是1/2,让我们给金条和银条贴上瑞霞标签:


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然后,我们列举了一下所有可能抽取到的情况:


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接下来,让我们只看一下第一次抽到金条的情况:

 

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所以,如果你第一次抽到的箱子里有一个隔档是金条的话,那么另一个隔档里是金条的概率是2/3.

 

3次中有两次另一个隔档是金条,是因为在你抽到的3次金条中,有两次你分别抽到了G1和G2.

 

3次中有一次另一个隔档是银条,是因为在你抽到的3次金条中,有一次你抽到了G3.

 

这个问题和三门问题有非常紧密的联系。

 

 

8、如何用一块镖板推算出圆周率π

 

你可以用有块镖板推算出圆周率π的值

 

有一种很有趣的方法,通过反复随机在正方形镖板内选点,可以推算出圆周率π的值

 

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首先,我们需要做一些运算:

 

正方形内切圆的半径为1,正方形的边长就是2.

 

那么,圆的面积就是:

 

πr2=π(12)=π

 

正方形的面积就是:

 

22=4

 

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接下来,我们在正方形内随机选取几千个点。

 

有一种很有趣的方法,通过反复随机在这个正方形内选点,可以推算出圆周率π的值。

 

选的点越多,得出来的结果就越接近。

 

选点结束后,将结果带入下面的公式,就可以推算出π的值:

 

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这是运用几何学和概率推算圆周率π的方法。

 

 

9、调和级数发散至无穷大

 

 

下面就是调和级数:

 

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分母持续增长趋向无穷大。

 

许多其他的无穷级数都聚合至单个数字:

 

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然而,调和级数却不是这样:

 

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对于大多数人来说,这是非常非常难以理解的——

 

请看下面:

 

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它看起来增长的越来越慢!看那分数的值多小啊!而且只会越来越小!

 

但实际上,调和级数不会聚合到单个数字。它在趋向无穷大,只是很慢很慢。

 

我们来证明一下。

 

证明调和级数是发散的——

 

让我们把调和级数和另外一个小一些级数对比一下:

 

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注意,从第二项开始,第二个无穷级数中的每一个数都比调和级数同一位置的数要小。所以:

 

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但是我们看一下第二个无穷级数:

 

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可以简化为:

 

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很明显可以发散至无穷大:

 

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所以,如果

 

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并且

 

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那么

 

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10、你的朋友很可能比你人缘好

 

从数学上讲,大多数人的朋友平均所拥有的朋友数量要比他们自己的朋友多。

 

这种很有应用题色彩的现象,很大程度上是由于社交网络的数学性质所决定的。

 

它基于这样一种理念,那就是平均来讲,大多数人的朋友都拥有比他们自己更多的朋友。

 

社会学家斯科特·L·费尔德在1991年的一遍论文中,发现71%的人平均所拥有的朋友都比

他们的朋友所拥有的朋友要少。

 

关键点在于人缘好的人。

 

我们来看一个例子。

 

我们再来回顾一下你的办公室来证明这一点(现在经过裁员,只剩下20个人了)。下面是你办公室的朋友关系图。连接线表示他们之间为朋友关系:

 

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在这个办公室里,平均每个人拥有2.85个朋友。

 

但是,每个人的朋友却平均拥有3.39个朋友。

 

图中标注出了拥有朋友数量高出平均数的人。他们都是人缘极好的人。更重要的是,办公室的20人中有17人至少跟她们中的一位是朋友:

 

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这只是一个例子,但在现实世界中却稀松平常。

 

在推特上,在微博上,脸谱、人人......你所关注的人很可能拥有比你更多的粉丝。

 

基本上讲,相对于朋友较少的人,你更愿意与朋友多的人成为朋友。

 

这条规则不仅仅适用于朋友关系。

 

11、任意四边形边线中点连线构成平行四边形

 

画一个四边形,可以是任意古怪的形状,不规则四边形、凹四边形、凸四边形......只需要四个点和四条直线。

 

 

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标出每条边线的中点

 

将边线相连。你总是会得到一个完美的平行四边形。

 

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12、三个犯人

 

三个犯人都住在隔离间,并且都被判处了死刑。狱官随机赦免了其中一个犯人。看守知道谁会被赦免,但不会说。

 

犯人A脸皮厚,让看守告诉他,B和C谁会被执行死刑。

 

如果赦免的是B,那就说C;如果赦免的是C,那就说B;如果B和C都没被赦免,那就投硬币决定说谁。

 

看守告诉A,犯人B将会被执行死刑。

 

犯人A兴奋不已,觉得自己生存的机率从1/3提升到了1/2,因为原来是A、B、C三个人有一人被赦免,现在是A、C两个人有一个被赦免。

 

A将此告诉了C,C同样兴奋不已。他的理由是:A生存的机率仍然是1/3,而C却有了2/3的机率被赦免。

 

谁错了呢?

 

答案是:犯人C是对的。

 

最初,三人都有1/3的机率被赦免。看守说B会被处决,这意味着一下两者可能:

 

--C会被赦免(1/3的机率)

--A会被赦免,投硬币投到B(1/6的机率)

 

这就意味着A被赦免的机率是C被赦免的一半,二B已不可能被赦免。

 

所以,A被赦免的机率没有变化,仍然是1/3.而C被赦免的机率已翻倍至2/3.

 

如果你仍然怀疑,那我们就对这其中的机率进行一下盘点:

 

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接下来,我们只看B被处决的情况。我们看到,C被赦免的机率是A的两倍。

 

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既然我们知道,现在B被赦免的机会为0%,并且,C被赦免的机率是A的两倍:

 

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可见,犯人A问了多么愚蠢的一个问题。

转自:https://mp.weixin.qq.com/s/aMMRXYvrUt08cmbzuoCVXQ

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原文地址:http://www.cnblogs.com/shixisheng/p/7140691.html

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