3D 坐标变换 公式 推导

[ 更新 ]更好的方法见[用抽象代数讨论仿射变换和仿射空间中的坐标变换] ，以下是之前的内容。

以下的推导 结论是正确的，可是过程有点懵。

以下使用行向量：
e1=(1,0,0)
e2=(0,1,0)
e3=(0,0,1)
i, j, k是三个线性无关的向量。它们在e1,e2,e3坐标系下的坐标也记作i,j,k
i’, j’, k’是三个线性无关的向量，它们在e1,e2,e3坐标系下的坐标也记作i’, j’, k’

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$$denote \quad \begin{bmatrix}i\\j\\k\end{bmatrix}=A,\begin{bmatrix}i‘\\j‘\\k‘\end{bmatrix}=B$$


已知点P相对于Oijk的坐标是(x,y,z)
则点P相对于O’i’j’k’的坐标：

$$(x‘,y‘,z‘)=((x,y,z)A+(O-O‘))B^{-1}$$

若B是正交矩阵。就不用求逆了，求转置就是。

特别地，
若O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3,则

$$(x‘,y‘,z‘)=((x,y,z)-O‘))B^{-1}$$

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推导

设点P相对于O’i’j’k’的坐标是(x’,y’,z’)

$$\because P =O+(x,y,z)A=O‘+(x‘,y‘,z‘)B$$
$$\therefore(x‘,y‘,z‘)=((x,y,z)A+(O-O‘))B^{-1}$$

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补充

记 $B=AM\quad (M=A^{-1}B)$，即M是把i,j,k变换到i’,j’,k’的变换矩阵，

$$\therefore(x‘,y‘,z‘)=((x,y,z)A+(O-O‘))M^{-1}A^{-1}$$
特别地。
若O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3,则
$$(x‘,y‘,z‘)=((x,y,z)-O‘))M^{-1}\quad and \quad M=B$$

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应用

实际应用中，用到的一般都是O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3的特殊情况。
这是由于：问题在描写叙述O’i’j’k’坐标的时候一般都是相对于Oikj而言的；
这里没有绝对的坐标系，仿射空间中不论什么一个点都看以看成(0,0,…0)，随意一组基都能够看成{(1,0,…0), (0,1,…0), (0,0,…1)}。

$$(x,y,z,1)\begin{bmatrix} M^{-1}& 0\ -O‘M^{-1}& 1 \\end{bmatrix}=(x‘,y‘,z‘,1)$$
$$\begin{bmatrix} M^{-1}& 0\ -O‘M^{-1}& 1 \\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} M& 0\ O‘& 1 \\end{bmatrix}^{-1}$$

换个角度理解

点P不动。把坐标架O,i,j,k变换到O’,i’,j’,k’，则变换矩阵是$\bigl( \begin{smallmatrix} M & 0 \\ O‘ & 1 \end{smallmatrix} \bigr)$, M=B,
就相当于 坐标架不动，点P逆着上述变换，变换到新坐标。

变换的两种方式

①先原地变换坐标架，再平移坐标架

$$\begin{bmatrix} B &0 \ 0&1 \\end{bmatrix} \begin{bmatrix} I &0 \O‘ & 1 \\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} B &0 \O‘ &1 \\end{bmatrix}$$
②先平移坐标架。再相对平移之后的原点变换坐标架
$$\begin{bmatrix} I &0 \O‘ & 1 \\end{bmatrix}X=\begin{bmatrix} B &0 \O‘ &1 \\end{bmatrix}\qquad X=\begin{bmatrix} B &0 \O‘-O‘B &1 \\end{bmatrix}$$
X能够看成先平移回原点，相对原点 原地变换 坐标架，再平移过去：
$$X=\begin{bmatrix} B &0 \-O‘B &1 \\end{bmatrix}\begin{bmatrix} I &0 \O‘&1 \\end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} B &0 \-O‘B &1 \\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I &0 \-O‘ &1 \\end{bmatrix}\begin{bmatrix} B &0 \0&1 \\end{bmatrix}$$

注意到 X 与 $\bigl[ \begin{smallmatrix} B & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr]$ 是类似矩阵，正是同一(4维的)线性变换在不同基下的坐标表示。1