矩阵相关的小证明

$\forall A\in \mathbb{R}^{n\times n}$，$A^{\mathrm{T}}A$ 为半正定阵。\(\newcommand{\zz}[1]{#1^{\mathrm{T}}}\) \(\newcommand{\inprod}[2]{\langle#1\,,#2\rangle}\)

证明：
首先，不难证明，$\forall A\in \mathbb{R}^{m\times l}, B\in\mathbb{R}^{l\times n}, (AB)^\mathrm{T} = B^\mathrm{T}A^\mathrm{T}$ 。
从而易见 $\zz{A}A$ 是对称阵。
$\forall x\in\mathbb{R}^{n}$ 有 $\inprod{x}{\zz{A}Ax} = \zz x\zz AAx = \zz{(Ax)}Ax = \inprod{Ax}{Ax} \ge 0$ 。
所以 $\zz AA$ 是半正定阵。证毕。