标签：span display 图片 getch 裴蜀定理 || lcm alt int
复习模板。
两两合并同余方程
$x\equiv C_{1} \ (Mod\ P_{1})$
$x\equiv C_{2} \ (Mod\ P_{2})$
把它写成不定方程的形式：
$x = C_{1} + P_{1} * y_{1}$
$x = C_{2} + P_{2} * y_{2}$
发现上下两式都等于$x$
所以$C_{1} + P_{1} * y_{1} = C_{2} + P_{2} * y_{2}$
稍微移项一下，有$P_{1} * y_{1} + P_{2} * (-y_{2}) = C_{2} - C_{1}$。
发现这个式子很眼熟，其实就是一个不定方程，那么根据裴蜀定理，要使此方程有解需要满足$gcd(P_{1}, P_{2}) | (C_{2} - C_{1})$，否则这一堆同余方程就无解了。
我们有$exgcd$算法可以解这个$y_{1}$，解出来之后把它回代到上式里面去，就得到了合并之后的同余方程：$x\equiv C_{1} + P_{1} * y_{1} \ (Mod\ lcm(P_{1}, P_{2}))$。
根据【NOI2018】屠龙勇士的经验，当$P == 1$的时候，这个同余方程其实是没什么意义的，但是把它代进去算就会挂掉，所以需要特判掉。
发现乘法会溢出，需要使用快龟速乘，按照我自己的sb写法，要注意在龟速乘的时候保证$y \geq 0$。
时间复杂度$O(nlog^{2}n)$，然而欧几里得算法的$log$基本上都跑不满。
Code：
#include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 1e5 + 5; int n; ll rest[N], mod[N]; template <typename T> inline void read(T &X) { X = 0; char ch = 0; T op = 1; for(; ch > ‘9‘ || ch < ‘0‘; ch = getchar()) if(ch == ‘-‘) op = -1; for(; ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘; ch = getchar()) X = (X << 3) + (X << 1) + ch - 48; X *= op; } inline ll mul(ll x, ll y, ll P) { ll res = 0; for(; y > 0; y >>= 1) { if(y & 1) res = (res + x) % P; x = (x + x) % P; } return res; } ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { if(!b) { x = 1, y = 0; return a; } ll res = exgcd(b, a % b, x, y), tmp = x; x = y, y = tmp - (a / b) * y; return res; } inline ll exCrt() { ll P, c, x, y, d, t; int pos = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) if(mod[i] != 1) { pos = i, P = mod[i], c = rest[i]; break; } for(int i = pos + 1; i <= n; i++) { if(mod[i] == 1) continue; d = exgcd(P, mod[i], x, y); ll r = (((rest[i] - c)) % mod[i] + mod[i]) % mod[i]; t = mul(x, r / d, mod[i] / d); // t = (rest[i] - c) / d * x; // t = (t % (mod[i] / d) + (mod[i] / d)) % (mod[i] / d); // c = (c + mul(P, t, P / d * mod[i])) % (P / d * mod[i]); c = c + P * t; P = P / d * mod[i]; c = (c % P + P) % P; } return (c % P + P) % P; } int main() { read(n); for(int i = 1; i <= n; i++) read(mod[i]), read(rest[i]); printf("%lld\n", exCrt()); return 0; }
Luogu 4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
标签：span display 图片 getch 裴蜀定理 || lcm alt int
原文地址：https://www.cnblogs.com/CzxingcHen/p/9629771.html
