多项式求逆

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想了想还是分开来发好了

求 \(B\) 满足 \(AB \equiv 1 \pmod{x^{2n}}\)

假设已经求出 \(B_0\) 满足 \(AB_0 \equiv 1 \pmod{x^n}\)

\(\because B -B_0\equiv 0 \pmod{x^n}\)

\(\therefore B^2-2BB_0+B_0^2\equiv 0 \pmod{x^{2n}}\)

$\therefore B-2B_0+AB_0^2\equiv 0 \pmod{x^{2n}} $

\(\therefore B\equiv 2B_0-AB_0^2\pmod{x^{2n}}\)

倍增即可

复杂度 \(T(N)=T(N/2)+O(NlogN)=O(NlogN)\)

代码（我的是迭代实现的）

inline void calc_inv(int n, int *a, int *b){
    b[0] = fpow(a[0]);
    static int c[N];
    for(int u = 2, k = 4; u <= n; u <<= 1, k <<= 1){
        memcpy(c, a, u << 2), memset(c + u, 0, u << 2);
        get_rev(k);
        ntt(c, k, 1), ntt(b, k, 1);
        REP(i, 0, k - 1)b[i] = (2ll - 1ll * c[i] * b[i] % P + P) % P * b[i] % P;
        ntt(b, k, -1), memset(b + u, 0, u << 2);
    }
}

不过这样复杂度的确是对了，但是常数不小

咋优化？

还考虑这个式子 \(B\equiv 2B_0-B_0AB_0\pmod{x^{2n}}\)

设 \(C=AB_0\equiv 1 \pmod{x^n}\)
\[ [x^{t}]B=2[x^{t}]B_0-\sum_{k=0}^{t}[x^k]B_0\times[x^{t-k}]C=[x^t]B_0-\sum_{k=0}^{t-1}[x^k]B_0\times [x^{t-k}]C \]

• 当 \(t < n\) 时，由于仅有 \([x^0]C=1\) ，其他都是0，则 \([x^t]B=[x^t]B_0\)
• 当 \(t\ge n\) 时，式子显然可以化简为\([x^t]B=-\sum_{k=0}^{t-n}[x^k]B_0\times [x^{t-k}]C\)

NTT的规模会减半（原来要两倍长度）

inline void calc_inv(int n, int *a, int *b){
    b[0] = fpow(a[0]);
    static int c[N], d[N];
    for(int u = 1, k = 2; k <= n; u <<= 1, k <<= 1){
        memcpy(c, a, k << 2), memcpy(d, b, u << 2), memset(b + u, 0, u << 2);
        get_rev(k), ntt(b, k, 1), ntt(c, k, 1);
        REP(i, 0, k - 1)c[i] = 1ll * c[i] * b[i] % P;
        ntt(c, k, -1);
        memset(c, 0, u << 2);
        REP(i, u, k)c[i] = P - c[i];
        ntt(c, k, 1);
        REP(i, 0, k - 1)b[i] = 1ll * b[i] * c[i] % P;
        ntt(b, k, -1);
        memcpy(b, d, u << 2);   
    }
}

多项式求逆

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原文地址：https://www.cnblogs.com/HolyK/p/10262412.html