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棱长为\(a\)的正方体,其面对角线长为\(\sqrt{2}a\);体对角线长为\(\sqrt{3}a\);
棱长、面对角线、体对角线三者之比为\(1:\sqrt{2}:\sqrt{3}\);
正方体的内切球的半径\(r_{内}=\cfrac{a}{2}=OF\);
正方体与各条棱相切的球的半径\(R_{棱}=\cfrac{\sqrt{2}a}{2}=OG\);
正方体的外接球的半径\(R_{外}=\cfrac{\sqrt{3}a}{2}=OC_1\);
长方体的长\(a\)宽\(b\)高\(c\),其面对角线的长不是固定的,其体对角线的长为\(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\);
长方体必有外接球,其半径\(R_{外}=\cfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}\);不一定有内切球;
正四面体的棱长为\(a\),则其高为\(h=\cfrac{\sqrt{6}a}{3}\);
正四面体的内切球半径\(R_{内}=\cfrac{\sqrt{6}a}{12}=\cfrac{1}{4}h=IF\);
正三棱锥的棱长为\(a\);则其高为\(h=\);
正三棱锥的内切球半径;
正三棱锥的外接球半径;
分析:设正方体的棱长为\(a\),外接球的半径为\(R\),则\(a^2+(\sqrt{2}a)^2=(2R)^2\),
又\(\cfrac{4}{3}\pi R^3=\cfrac{\sqrt{3}\pi}{2}\),即\(8R^3=3\sqrt{3}\),
即\((2R)^3=3\sqrt{3}\),两边同时\(\cfrac{2}{3}\)次方,得到
\((2R)^2=(3\sqrt{3})^{\frac{2}{3}}=3\),
故有\(a^2+(\sqrt{2}a)^2=(2R)^2=3\),解得\(a=1\)。
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原文地址:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10015765.html