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球体与简单几何体的切接问题

时间:2019-01-15 18:27:38      阅读:686      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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球体与正方体

  • 棱长为\(a\)的正方体,其面对角线长为\(\sqrt{2}a\);体对角线长为\(\sqrt{3}a\)

  • 棱长、面对角线、体对角线三者之比为\(1:\sqrt{2}:\sqrt{3}\)

  • 正方体的内切球的半径\(r_{内}=\cfrac{a}{2}=OF\)

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正方体与各条棱相切的球的半径\(R_{棱}=\cfrac{\sqrt{2}a}{2}=OG\)

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正方体的外接球的半径\(R_{外}=\cfrac{\sqrt{3}a}{2}=OC_1\)

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  • 切面球半径\(r_{内}\)、切棱球半径\(R_{棱}\)、切点球半径\(R_{外}\)三者之比为\(1:\sqrt{2}:\sqrt{3}\)

球体与正方体

  • 长方体的长\(a\)\(b\)\(c\),其面对角线的长不是固定的,其体对角线的长为\(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

  • 长方体必有外接球,其半径\(R_{外}=\cfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}\);不一定有内切球;

球体与正四面体

  • 正四面体的棱长为\(a\),则其高为\(h=\cfrac{\sqrt{6}a}{3}\)

  • 正四面体的内切球半径\(R_{内}=\cfrac{\sqrt{6}a}{12}=\cfrac{1}{4}h=IF\)

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  • 正四面体与各棱相切的球半径\(R_{棱}=\cfrac{\sqrt{2}a}{4}=IE\)

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  • 正四面体的外接球半径\(R_{外}=\cfrac{\sqrt{6}a}{4}=IC\)

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球体与正三棱锥

  • 正三棱锥的棱长为\(a\);则其高为\(h=\)

  • 正三棱锥的内切球半径;

  • 正三棱锥的外接球半径;

例1一个正方体的顶点都在球面上,若这个球的体积是\(\cfrac{\sqrt{3}\pi}{2}\),则正方体的棱长为___________.\(1\)

分析:设正方体的棱长为\(a\),外接球的半径为\(R\),则\(a^2+(\sqrt{2}a)^2=(2R)^2\)

\(\cfrac{4}{3}\pi R^3=\cfrac{\sqrt{3}\pi}{2}\),即\(8R^3=3\sqrt{3}\)

\((2R)^3=3\sqrt{3}\),两边同时\(\cfrac{2}{3}\)次方,得到

\((2R)^2=(3\sqrt{3})^{\frac{2}{3}}=3\)

故有\(a^2+(\sqrt{2}a)^2=(2R)^2=3\),解得\(a=1\)

球体与简单几何体的切接问题

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原文地址:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10015765.html

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