线段树原理
线段树是一颗二叉树，他的每个节点对应的都是一个区间，主要是通过对区间的分割和合并来修改节点的值， 然后再得到答案。
现在给你一个 目的为求区间和 所造出来的线段树 线段树。如下图所示。
仔细观察，第一二三行方框内的值是他的下面2个子区间的和， 第四行的方框内的数字代表的是自身的值， 蓝色代表的是这个方框他包含的区间， 红色代表的是这个元素在数组中所储存的位置。（在绝大多数博客中，我们默认区间的左儿子他的下标是当前区间下标的2倍，右儿子的下标是当前区间的2倍再加上1，这个下标是认为定义的，你也可以将对应关系修改）。
为什么说用线段树可以节省求和时间呢， 假设我们需要查找区间 [1,8] 的和， 对于这个不用多说， 我们可以直接将最上面的那个46输出，因为最上面的那个矩形代表的就是区间 [1,8] 的和。
然后假设我们要查找区间 [3,7] 的和， 刚开始我们出现在区间 [1,8]的位置， 但是对于目标区间来说 [1,8] 太大了， 所以我们要继续往下走， 走到 [1,4] 和 [5,8] 的区间， 但是对于这2个区间来说， 还有一部分区域是落在查询区间之外的， 所以我们需要继续往下走，我们先分析区间 [1,4] , 对于他左儿子的区间[1,2]来说，没有任意一个点是落在查询区间内的， 所以我们不需要走到他的左儿子处， 然后走到右儿子[3,4]，可以发现 [3,4] 倍查询区间覆盖了， 所以我们就不需要往下走了， 因为整个区间都倍覆盖了， 直接将这个点的值返回就好了， 因为这个点就是他下面节点的和。 然后我们再看区间[5,8]， 先往左走， 走到左儿子区间 [5,6] ，也可以发现该区间倍查询区间覆盖了，就不需要往下走了， 返回该节点的值，对于右儿子节点 [7,8] 来说，只有一部分区域倍查询区间覆盖， 所以我们还需要往下走，继续往左边走， 发现 [7,7] 是合法区域， 返回该值， {8,8]不是合法区域，所以不对这快里的数据进行处理。 所以最后的结果就是 [3,4] + [5,6] + [7,7] 这3个区间的和。 可能你会说就5个点而已， 我直接加过去时间也就这样， 的确， 当点数小的时候线段树的优势并不会很明显，但是如果查询的区间长度会到达 1e5的话， 那么线段树就可以省下很多时间了。
线段树的某段区间内的值是可以修改的。
假设我们修改了区间[2,2]的值
我们就需要更新一下所有区间内含2的区间， 也就是顺着[2,2]一直往上走 按次序更新 [2,2] -> [1,2] -> [1,4] -> [1,8] 这四个区间的值， 更新完了之后就可以继续愉快的去查询区间和了。
可以发现， 每一次对于一个点更新之后， 她执行的点的数目就是logn个， 如果你使用的是前缀和去写的话， 就需要约更新n 个节点。
代码实现
1，建树，对于一颗树需要先建树。这里用到的是递归建树。
建树（有注释） 建树（无注释）
2，通过子节点来更新目前节点。
PushUp(有注释） PushUp（无注释）
3，更新某个节点。
单点更新（有注释） 单点更新（无注释）
4, 查询区间和
查询的规则前面已经解释过一次了。
区间查询（有注释） 区间查询（无注释）
总结
1。首先对于大多数线段树题目来说， 第一步就是建树。 建树用法 Build(1,n,1)， [1,n]就是第一个节点所代表的区间长度。
2。在每次更新了点之后，为了保证线段树性质， 一定要去执行PushUP操作，保证线段树的性质不丢失。
3。线段树的精华就是，每一个节点代表着一段区间，这个节点的值，就是他所代表的区间内的值。
4。当底层节点只有5个点的时候， 我们处理线段树时， 需要将他变成8个节点， 如果给9个节点， 那么底层节点必须要有16个节点， 所以为了保证空间足够用，所以需要将空间开大2倍，然后由于每一层的上方都还有 m/2个点（m为该层节点的数目）。
所以空间需要再大两倍， 最终合起来就是4倍。 所以我们需要开 4n 的空间。
HDU-1166 线段树求区间和
View CodeHDU-1754 线段树求区间最大值
View Code
区间更新 lazy标记
现在我们突然遇到这样一个题目
这个题目和上面题目不同的地方是更新， 在这个题目中， 他更新数据是成段更新， 上面的题目都是一个点一个点更新， 并且更新的次数不是很少， 我们不可能去像点更新一样， 将这些区域内的点都一个个更新过去。
前面提到过，线段树的每一个节点都代表着一段区间的性质， 所以假如我们需要对于区间 [5,8] 里面的数都加上 10。（基于更新[2,2]后的那个线段树）。
如果我们将一个个点覆盖过去之后， 现在的这课树是这样的。
我们可以发现对节点3来说， 他所管辖的区间[5,8]都是要被更新的区间，并且他增加的指为40，即 区间长度（4） * 修改的值（10）。 我们可以发现，在区域更新的时候， 对于一个节点来说， 如果他所管理的区间 被 要更新的区间 覆盖了， 那我们就提早了知道这一个节点的值。
然后我们引入一个概念， lazy标记， 还是对于开头的情况来说， 如果我们使用了lazy标记之后， 这一课线段树是这样的
在这一颗树上， 我们只修改了2个节点， 同时在节点3处增加了一个 lazy标记， 在这个标记中 lazy = 10。(即整段区间内每一个点都要加上的值）。接下来， 我们如果询问区间[1,8]的和， 我们直接返回节点1就好了。 如果我们询问区间 [3,8] 的和 那么只需要返回 [3,4] + [5,8] 的值。 我们可以看见如果不访问[5,8]的子区间的时候， 我并不会用到里面的值。 在这些时候， 我们并不需要更新里面的值， 更不更新都一样， 不会被访问到。
如果我们现在需要查询 [1,5]的和， 我们只需要将 lazy 标记下推，然后再更新对应的区间就好了。
然后我们返回 [1,4] + [5,5] 的值就好了。
总结就是：
lazy标记的含义就是延迟更新，在我们不需要访问区间内部时就保留lazy标记的值，如果需要访问内部的时候，我们要先将lazy标记下推， 因为可能lazy标记还需要继续往下走。
在区域更新的时候，如果 当前区间 被 更新的区间完全覆盖了， 就直接在这个节点加上 区间长度*修改的值， 并且更新这个点的lazy标记。
操作代码：
PushDown --- 将lazy标记下推
PushDown 区域更新 查询注意的就是每次对子区间进行修改的时候，我们都需要提前先把lazy标记下推。
所以一开始的那个题目我们就可以做了。
POJ-3468再来一道
HDU-1698
到此关于线段树的查询 单点更新 区域更新都介绍完了。
还有一种特殊的思想是： 线段树求逆序对。
