标签：阶乘 main limit class time end 形式 isp cli
最主要的两个式子：
套路1：
$$\begin{array}{l}x^k=\sum_{i=0}^x\begin{pmatrix}x\\i\end{pmatrix}\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}i!\\\end{array}$$
左边的式子可以看成将k个球放到x个有标号的盒子中，总共的方案数。
右边的式子可以看成先选出i个非空的盒子，将k个球放到这i个盒子中且不空的方案数。但由于第二类斯特林数是无序的，还要乘上i阶乘。
套路2：
$$\begin{array}{l}\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac1{m!}\;\sum_{i=0}^m\;(-1)^i\;\;\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}(m-i)^n\\\end{array}$$
这是第二类斯特林数的容斥形式。
右边相当于枚举有多少个空的盒子，然后剩下的盒子随便放。由于这是有标号的结果，最后要除以m阶乘。
有了套路2，就能NTT在O(nlogn)时间内算出$$\begin{array}{l}\\\begin{Bmatrix}n\\0\end{Bmatrix}\sim\begin{Bmatrix}n\\1\end{Bmatrix}\end{array}$$>。
1.求第一类斯特林数S(n,0)~S(n,m)，n,m<=5E5，模998244353。
朴素NTT即可。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long int ll; 4 const ll mod=998244353; 5 const ll G=3; 6 const ll Gi=332748118; 7 const ll maxn=1E6+5; 8 ll a[maxn],b[maxn],fac[maxn],n,m,len,limit,sum[maxn],ans; 9 int r[maxn]; 10 int re(int x) 11 { 12 int ans=0; 13 for(int i=0;i<len;++i)ans=ans*2+((x&(1<<i))>0); 14 return ans; 15 } 16 ll qpow(ll x,ll y) 17 { 18 ll ans=1,base=x; 19 while(y) 20 { 21 if(y&1)ans=ans*base%mod; 22 base=base*base%mod; 23 y>>=1; 24 } 25 return ans; 26 } 27 void init() 28 { 29 fac[0]=1; 30 for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod; 31 for(int i=0;i<=n;++i)b[i]=qpow(fac[i],mod-2)*qpow(i,n)%mod; 32 for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=(qpow(-1,i)*qpow(fac[i],mod-2)%mod+mod)%mod; 33 } 34 void NTT(ll*A,int g) 35 { 36 for(int i=0;i<limit;++i) 37 if(r[i]<i)swap(A[i],A[r[i]]); 38 for(int i=2;i<=limit;i*=2) 39 { 40 ll w; 41 if(g==1)w=qpow(G,(mod-1)/i); 42 else w=qpow(Gi,(mod-1)/i); 43 for(int j=0;j<limit/i;++j) 44 { 45 ll d=1; 46 for(int k=0;k<i/2;++k) 47 { 48 ll a=A[i*j+k],b=A[i*j+i/2+k]*d%mod; 49 A[i*j+k]=(a+b)%mod; 50 A[i*j+i/2+k]=(a-b+mod)%mod; 51 d=d*w%mod; 52 } 53 } 54 } 55 } 56 int main() 57 { 58 ios::sync_with_stdio(false); 59 cin>>n; 60 init(); 61 len=0,limit=1; 62 while(limit<=n*2) 63 { 64 ++len; 65 limit<<=1; 66 } 67 for(int i=n+1;i<=limit;++i)a[i]=0; 68 for(int i=n+1;i<=limit;++i)b[i]=0; 69 for(int i=0;i<limit;++i)r[i]=re(i); 70 NTT(a,1); 71 NTT(b,1); 72 for(int i=0;i<limit;++i)a[i]=a[i]*b[i]%mod; 73 NTT(a,-1); 74 ll g=qpow(limit,mod-2); 75 for(int i=0;i<limit;++i)a[i]=a[i]*g%mod; 76 for(int i=0;i<=n;++i)cout<<a[i]<<" ";cout<<endl; 77 return 0; 78 }
2.求$$\sum_{i=0}^n\;\sum_{j=0}^i\;\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}\times2^j\times(j!)\;$$
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原文地址：https://www.cnblogs.com/GreenDuck/p/10758629.html
