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exBSGS

已知数\(a,p,b\)，求满足\(a^x≡b\ (\bmod p)\)的最小自然数\(x\)。

\(100\%\)的数据，\(a,p,b≤10^9\)。

_皎月半洒花的题解

其实本质上，当\(p\)不为素数时，我们无法进行朴素 BSGS 的原因是我们的欧拉定理\(a^{\varphi(p)} \equiv b(\bmod p)\) 只能处理\((a,p)=1\)的情况。那么我们知道，朴素的 BSGS 的关键在于，可以保证最小解是有界的——\(x\)一定在\([1,\varphi(p)]\)中。所以最后 BSGS 的复杂度才会是\(\Theta(\sqrt{\varphi(p)})\) 的——比如说比较常见的\(p\)是素数的情况下，时间复杂度为\(\Theta(p)\)。

那么也就是说，我们只需要进行一些操作，保证\((a,p)=1\)即可。

我们思考，对于同余式\(a^x\equiv b~(\bmod p)\)而言，我们先假定\((a,p)>1\)。而此时如果有\(((a,p), b)=1\)，那么说明此式只有可能在\(x=0,b=1\)的时候有解——这个结论是平凡的。因为假设我们把它展开成\(a\cdot a^{x-1} +kp=b\)的形式，必须要有\((a,p) ~|~ b\)的情况下，才能保证\(a^{x-1}\)和\(k\)都是整数。

那么对于\((a,p)>1\)且\((a,p)~|~b\)，我们令原式变成

\[ a^{x-1}\cdot \frac{a}{(a,p)} \equiv \frac{b}{(a,p)} (\bmod \frac{p}{(a,p)}) \] 的样子，如果此时\((a^{x-1},\frac{p}{(a,p)})=1\) 的话，我们就直接解

\[ a^{x-1}\equiv \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} }(\bmod \frac{p}{(a,p)}) \] 这个方程即可。否则我们继续分解直至\((p',a)=1\)。

那么此时有个问题需要注意，就是如果们在解这个方程时，出现了

\[ (a^{x-1}, \frac{p}{(a,p)})\nmid \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} } \] 的情况，那我们需要特判并return -1 ；另一种情况，如果我们出现了

\[ a^{x-1}\equiv \frac{\frac{b}{(a,p)}} {\frac{a}{(a,p)} } \equiv1(\bmod \frac{p}{(a,p)}) \] 的情况，也需要特判并输出此\(k\)（此时同余式左边是\(a^{x-k}\)，因为\(a^{x-k}\equiv1~(\bmod p)\)所以直接输出\(k\)），不过也有可能不需要，完全看你写的 BSGS 能不能判断\(x=0\)的情况……一般情况下不能。

算法流程大体就是这些。有些需要注意的是，BSGS 有两种写法。我的这种写法是小步为\(a^j\)，大步为\(a^{-im}b\)。此时由于\(p\)不再是素数，所以不能用费马小定理，需要我们用exgcd的方法求逆元，包括但不限于\(\frac{b}{(a,p)}\)的逆元和\(a^{-im}\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define co const
#define il inline
template<class T> T read(){
    T x=0,w=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*w;
}
template<class T>il T read(T&x){
    return x=read<T>();
}
using namespace std;
typedef long long LL;

unordered_map<LL,int> H;
int N,M,P,ans;

LL gcd(LL a,LL b){
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
LL expow(LL a,LL b,LL mod){
    LL res=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)
        if(b&1) res=res*a%mod;
    return res;
}
LL exgcd(LL&x,LL&y,LL a,LL b){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL t=exgcd(y,x,b,a%b);
    y-=x*(a/b);
    return t;
}
LL BSGS(LL a,LL b,LL mod,LL d){
    H.clear();
    LL Q,p=ceil(sqrt(mod)),x,y;
    exgcd(x,y,d,mod),b=(b*x%mod+mod)%mod;
    Q=expow(a,p,mod),exgcd(x,y,Q,mod),Q=(x%mod+mod)%mod;
    for(LL i=1,j=0;j<=p;++j,i=i*a%mod)
        if(!H.count(i)) H[i]=j;
    for(LL i=b,j=0;j<=p;++j,i=i*Q%mod)
        if(H.count(i)) return j*p+H[i];
    return -1;
}
LL exBSGS(){
    if(M==1) return 0;
    LL d=1,k=0;
    for(LL nd;(nd=gcd(N,P))>1;){
        if(M%nd) return -1;
        ++k,M/=nd,P/=nd,d=d*(N/nd)%P;
        if(d==M) return k;
    }
    LL ans;
    return (ans=BSGS(N,M,P,d))==-1?-1:ans+k;
}
int main(){
    while(read(N)|read(P)|read(M)){
        N%=P,M%=P,ans=exBSGS();
        if(ans<0) puts("No Solution");
        else printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

LG4195 【模板】exBSGS

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原文地址：https://www.cnblogs.com/autoint/p/11282053.html