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Catalan数

时间:2019-10-29 23:21:15      阅读:107      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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一、定义

??Catalan数是组合数学中在经常出现在计数问题中的数列,前几项为:

??\(1,2 , 5 ,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,……\)

二、求解公式

??Catalan数有\(4\)个常用的求解公式

??\(①\)递归公式1
\[ f(n)=\sum_{i=1}^{n-1}f(i)*f(n-i-1) \]
??\(②\)递归公式2
\[ f(n)=\frac{f(n-1)*(4*n-2)}{n+1} \]
??\(③\)组合公式1
\[ f(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1} \]
??\(④\)组合公式2
\[ f(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1} \]

例1 二叉树计数

??已知一个二叉树有n个节点,求该二叉树有多少种不同的形态。

??定一个点为根,假设左子树有\(i\)个节点,右子树有\((n-i-1)\)个节点,那么根据乘法原理把他乘起来即可。我们设f(n)为n个节点的不同的二叉树形态个数,那么答案为:
\[ f(n)=\sum_{i=1}^{n-1}f(i)*f(n-i-1) \]
??这显然就是Catalan数,用组合公式求解即可。

例2 AB排列问题

??有\(n\)\(A\)\(n\)\(B\)排在一起,要求从\(1\)开始的任意位置\(B\)的个数不能超过\(A\)的个数,求方案数。

??直接求解满足条件的比较复杂,我们考虑求不符合条件的情况

??令\(n\)\(A\)\(n\)\(B\)组成的序列\(S\)不满足条件,那么我们就必定可以找到一个位置\(p\)满足\(S[1...2p+1]\)中有\(p+1\)\(B\),\(p\)\(A\)。我们将\(S[2p+2...2n]\)的所有\(A\)\(B\)\(B\)\(A\),可以得到一个由\(n-1\)\(n+1\)个B,\(n-1\)\(A\)组成的序列。

??相应的,对于一个由\(n-1\)\(n+1\)个B,\(n-1\)\(A\)组成的序列,我们必定可以找到一个位置\(p\)满足\(S[1...2p+1]\)\(p+1\)\(B\)\(p\)\(A\)。把\(S\)剩下的转换之后,就得到一个由\(n\)\(A\)\(n\)\(B\)组成的、存在一个前缀为\(B\)\(A\)多的序列。

??因此,这两个序列形成了一个双射,或者它们一一对应。

??所以,根据组合数定义,符合条件的排列的个数为:
\[ C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}=Cat_n \]

例3 乘法加括号

??对于连乘\(a_1*a_2*a_3*···*a_n\),可以通过加括号改变它的运算顺序,求有多少种运算顺序。

??我们考虑把每一个数和符号都作为二叉树的节点,保证每个数都是二叉树的叶子节点,那么每次就是选择一个\(*\)使得左边形成一棵二叉树,右边一棵。相当于把求的顺序分为前\(pos\)个和后\(pos\)个分开处理,答案也就是二叉树计数。

例4 欧拉多边形的划分

??给出凸\(n\)边形的边数,求有多少种分法可以把这个多边形分成互不重叠的\(n-2\)个三角形。

??我们假定已经选择了一条边,那么一这条边必定会形成两个三角形,而这条边也把这个多边形分成了两个多边形,我们设\(H_n\)\(n\)边形的分割数,那么容易得到:
\[ H_n=H_{n-1}+H_3H_{n-2}+···+H_{n-2}H_3+H_{n-1} \]
??我们再假设去了一条对角线,把\(n\)边形分成两个多边形,边数之和为\(n+2\),而从一个顶点出发的\(n-3\)条对角线所形成的分割数为:\(H_3H_{n-1}+H_4H_{n-2}+···+H_4H{n-2}+H_3H_{n-1}\),由于一条对角线有两个端点,重复计数两次,从所有顶点出发的n边形划分数为:
\[ (n-3)H_n=\frac{n(H_3H_{n-1}+H_4H_{n-2}+···+H_4H{n-2}+H_3H_{n-1})}{2} \]
??联立两个式子得到:
\[ H_{n+1}=(\frac{4n-6}{n})H_n \]
??而这也是\(Catalan\)数的公式之一,所以可知\(H_n=Cat_{n-2}\)

Catalan数

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原文地址:https://www.cnblogs.com/fangbozhen/p/11761948.html

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