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二、无穷小比阶(1.47-1.63)

时间:2019-11-05 21:16:03      阅读:105      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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2020张宇1000题·数一·刷题记录

第一篇 高等数学

第1章 极限、连续

二、无穷小比阶(1.47-1.63)

  1. 通过几种等价替换确定阶数,\(5>n+1>3\),卡正整数的值。
  2. 分母无理化之后有惊喜,\(tanx-sinx \sim {\frac{1}{2} }x^3\)
  3. 多个无穷小量共同作用,看阶数最小的那个。
  4. 正常等价替换或泰勒,展开原则,式子的和不能为0,阶数取x次数最低的那个。
  5. ???为什么xlnx不是一阶无穷小?
    \(xlnx=x[(1+x)-\dfrac{1}{2}(1+x)^2+o(x^2)]\sim x^?\)
  6. 原式时x的阶无穷小,故原式/x^k的极限存在。(而且一般不为0吧)
  7. \(\alpha'=cos\ x^2\sim o(x^0);\quad \beta'=2x\ tan\sqrt{x^2}\sim 2o(x^2);\quad \gamma'=\dfrac{1}{2\sqrt x}\ sin\ {\sqrt x}^3\sim \dfrac{1}{2}o(x^1);\)
  8. 错误做法:\(\lim \limits_{x \to 0}sinx(cosx-4)+3x\sim (x-\dfrac{1}{6}x^3)(1-4)+3x=\dfrac{1}{2}x^3\)所以3阶无穷小
    直接泰勒展开后(各展开两项)相乘相加,或者相乘后再泰勒展开(各展开三项)相加,最后x的所有低阶都被消去了,只留下一个x的高阶(若剩有多项的话,看x次数最低的那项)。
  9. (1)提取\(\sqrt2\)出来,往\((1+x)^\alpha -1\sim\alpha x\)上靠。(2)(3)两个等价替换。
  10. \(x-sinx\)上靠,两次\(sinxcosx=\frac{1}{2}sin2x\)
  11. 跟1.44看起来有点像,但不是同一种类型。直接泰勒展开,消去1,取x阶数最小的即可,原式~7x^2。答案第二种方法比较麻烦,还有???为啥\(sinxcosxcos2xcos3x=\dfrac{1}{4}sin4xcos3x=\dfrac{1}{8}(sin7x-sinx)\)
    原来是用了三角函数的积化和差公式,另外也复习下和差化积公式:
  12. 提取与等价替换。
  13. 同上,提取与等价替换,往\(e^x-1\sim x\)上靠。
  14. 求导与等价替换。
  15. \(lna-lnb=ln\dfrac{a}{b}\),再拆分与等价替换\(\lim \limits_{f(x) \to 1} ln[f(x)]=\lim \limits_{f(x)-1 \to 0} ln[1+f(x)-1]\sim f(x)-1\)
  16. 拆分与等价替换。
  17. 有那种做高考数学题的感觉,计算麻烦,但算出来很爽。先画图理清题意,再根据已知条件构建公式,然后将未知数用式子表达出来。最后再根据同阶,代入极限+保留阶数。



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二、无穷小比阶(1.47-1.63)

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