luogu P5577 - [CmdOI2019]算力训练

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简要题意：给一个序列，对每个 \(i\) 求 \(k\) 进制意义下不进位加法和为 \(i\) 的方案数。

显然可以暴力多维FFT。弱化一点的版本是异或，即\(k=2\)。（参考UNR#2黎明前的巧克力）

考虑怎么优化。考虑 \(1+x^a_i\) 对应的多项式，高维FFT后可以发现每一位上的值形如 \(w_k^i+1\)。

\(k\) 很小，考虑对每一位求出\(w_k^i+1\)有多少个。

可以先把 \(1\) 去掉，考虑每一个位置上的多项式是什么，可以发现答案我们先将所有多项式加起来，然后FFT之后，扩域意义下的 \(w_k^i\) 系数就是最后的 \(w_k^i+1\) 在这一位上有多少个。

这个 FFT 相当于做了一次 dp，状态是 FFT 操作进行到现在的时候每一位有多少个多项式会变成 \(w_k^i\)。

然后再 IDFT 回来就行了。

需要轻微卡常。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 998244353;
inline int add(int a,int b){a+=b;return a>=mod?a-mod:a;}
inline int sub(int a,int b){a-=b;return a<0?a+mod:a;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
inline int qpow(int a,int b){int ret=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))if(b&1)ret=mul(ret,a);return ret;}
/* math */
const int N = 1e6+5;
int k,n,invk;

struct dat{
    int a[6];
    dat(int a_1=0,int a_2=0,int a_3=0,int a_4=0,int a_5=0,int a_6=0) {
        a[0]=a_1,a[1]=a_2,a[2]=a_3,a[3]=a_4,a[4]=a_5,a[5]=a_6;
    }
    dat operator + (const dat b){
        return dat(a[0]+b.a[0],a[1]+b.a[1],a[2]+b.a[2],a[3]+b.a[3],a[4]+b.a[4],a[5]+b.a[5]);
    }
    int val(){
        return sub(add(a[0],a[1]),add(a[2],a[3]));
    }
    void print(){
        cout << "(";for(int i=0;i<k;i++)cout << a[i] << ",";cout << ")";
    }
};

dat add(dat a,dat b){
    dat ret=a+b;for(int i=0;i<k;i++)ret.a[i]=ret.a[i]>=mod?ret.a[i]-mod:ret.a[i];
    return ret;
}
dat mul(dat x,int d){
    dat ret;
    for(int i=0;i<k;i++)ret.a[(i+d)%k]=x.a[i];
    return ret;
}
dat div(dat x,int inver){
    for(int i=0;i<k;i++)x.a[i]=mul(x.a[i],inver);
    return x;
}
dat ret[10];
void fft(dat *a,int flg){
    for(int i=0;i<k;i++){
        ret[i]=dat();
        for(int j=0;j<k;j++){
            ret[i]=add(ret[i],mul(a[j],(i*j)%k));
        }
    }
    for(int i=0;i<k;i++)a[i]=ret[i];
    if(flg==1)return;
    for(int i=1;i<k-i;i++)swap(a[i],a[k-i]);
    for(int i=0;i<k;i++)a[i]=div(a[i],invk);
}
dat a[10];
inline void Transfer(dat *f,int len,int flg){
    for(int Step=1;Step<len;Step*=k){
        int D = Step*k;
        for(int i=0;i<len;i+=D){
            for(int j=0;j<Step;j++){
                for(int t=0;t<k;t++)a[t]=f[i+j+t*Step];
                fft(a,flg);
                for(int t=0;t<k;t++)f[i+j+t*Step]=a[t];
            }
        }
    }
}
inline dat mul(dat x,dat y){
    dat ret;
    for(int i=0;i<k;i++)for(int j=0;j<k;j++){
        ret.a[(i+j)%k]=add(ret.a[(i+j)%k],mul(x.a[i],y.a[j]));
    }
    return ret;
}
dat f[100010];
dat g[100010];
int len,m;

dat pw[1010],pw2[1010];
int readk(){
    char x=0;int ans=0;while(x<'0'||x>'9')x=getchar();
    while(x>='0'&&x<='9')ans=ans*k+x-'0',x=getchar();
    return ans;
}

inline dat qpow(dat x,int k){
    dat ret=dat(1);
    for(;k;k>>=1,x=mul(x,x))if(k&1)ret=mul(ret,x);
    return ret;
}

int main()
{
    cin >> n >> k >> m;
    int len=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)len=len*k;
    invk=qpow(k,mod-2);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int a=readk();
        f[a].a[0]++;
    }
    Transfer(f,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)g[i]=dat(1);
    for(int j=0;j<k;j++){
        dat ml=dat(1);
        ml.a[j]++;
        pw[0]=pw2[0]=dat(1);
        dat ml2=qpow(ml,1000);
        for(int i=1;i<=1000;i++)pw[i]=mul(pw[i-1],ml2);
        for(int i=1;i<=1000;i++)pw2[i]=mul(pw2[i-1],ml);
        for(int i=0;i<len;i++){
            g[i]=mul(g[i],pw[f[i].a[j]/1000]);
            g[i]=mul(g[i],pw2[f[i].a[j]%1000]);
        }
    }
    for(int i=0;i<len;i++)f[i]=g[i];
    Transfer(f,len,-1);
    for(int i=0;i<len;i++)printf("%d\n",f[i].val());
}

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