计蒜客T42256硬币--题解

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题面

题面
原题面：
小 B 面前的桌子上有 \(n\) 个硬币，\(0\) 表示正面，\(1\) 表示反面，只有当这 \(n\) 个硬币都是 \(0\) 朝上的时候这个他才能把这些钱收起来。现在他可以一个这样的操作来翻硬币，他选择一个 \(x\)，把 \(1\) 到 \(x\) 位置上的硬币都翻面，他现在想知道最少需要多少次操作能使所有硬币正面朝上

题目描述

给定一个长度为\(n\)的\(01\)串\(s\)，\(s_i \in \{ 0,1 \}\)
每次可以选择一个\(x\)，使得\([1,x]\)之间的所有元素反转，即\(0 \rightarrow 1,1 \rightarrow 0\)
问最少需要多少次可以把所有的元素变为\(0\)。

输入格式

第一行：一个非负整数\(n\)，表示串\(s\)的长度。
第二行：串\(s\)，第\(i\)个字符表示\(s_i\)

输出格式

输出最小的操作次数。

样例输入\(1\)

4
1001

样例输出\(1\)

3

样例输入输出\(1\)解释

第一次操作：\(x = 4\)，串\(s\)变为\(0110\)
第二次操作：\(x = 3\)，串\(s\)变为\(1000\)
第三次操作：\(x = 1\)，串\(s\)变为\(0000\)
可以证明，最小需要\(3\)次可以将\(s\)中所有元素变为\(0\)。且没有一种方案比这种方案更优。

样例输入\(2\)

5
10010

样例输出\(2\)

3

样例输入输出\(2\)解释

第一次操作：\(x = 4\)，串\(s\)变为\(01100\)
第二次操作：\(x = 3\)，串\(s\)变为\(10000\)
第三次操作：\(x = 1\)，串\(s\)变为\(00000\)
可以证明，最小需要\(3\)次可以将\(s\)中所有元素变为\(0\)。且没有一种方案比这种方案更优。

数据规模与约定

对于\(30\%\)的数据：\(1 \leq n \leq 20\)
对于另\(20\%\)的数据：所有\(s_i\)都相等
对于\(100\%\)的数据：\(1 \leq n \leq 10^6\)

题解

慢慢挖掘题目性质。
性质1：答案与操作的顺序无关
证明：
显而易见，无需证明

设\(p_i\)为\(s\)转化成目标串的过程中，\(s_i\)被反转的最小次数
\(p_i\)一定是非负整数

性质2：
当\(s_i = 0\)时，\(p_i\)一定是偶数；
当\(s_i = 1\)时，\(p_i\)一定是奇数；
证明：
显然，不用证明。

性质3：\(p_1\)就是\(s\)转化为目标串的最小操作次数
证明：
由于每次操作都是\([1,x]\)，都动了\(s_1\)。
所以\(s_1\)被反转的次数就是转化为目标串的最小次数。

性质4：\(\forall p_i \geq p_{i + 1} (1 \leq i \leq n)\)，即\(p\)单调不增
证明：
对于\(i,j\)，\(i < j\)
则\(p_i \geq p_j\)
因为每次动到\(j\)的时候，\(i\)肯定被动到了。
所以\(p_i \geq p_j\)
即，\(p\)单调不增。
***
性质5：\(\max _{1 \leq i \leq n} \{ p_i\} = p_1\)
证明：
由性质4得来。

结合以上所有性质。
目标是要求操作次数最小，所以就是要求\(p_1\)最小。
要求\(p_1\)最小，由于性质5，所以目标就是要求这个序列\(p\)尽量小。
这样才能保证最大的最小。

因为\(p_i\)是非负整数，我们考虑倒推。
并且要保证不破坏以上所有性质。
当\(s_n = 0\)时，显然，\(p_n = 0\)
当\(s_n = 1\)时，显然，\(p_n = 1\)
我们开始递推：
对于第\(i (1 \leq i \leq n-1)\)位
如果\(s_i = s_{i+1}\)，则，\(p_i = p_{i+1}\)
如果\(s_i \not ={s_{i+1}}\)，则，\(p_i = p_{i+1} + 1\)
***
综上，递推完之后，\(p_1\)就是答案。
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 1000000
int p[maxn + 10];
int main()
{
    int n;
    string s;
    cin>>n>>s;
    if(s[s.size() - 1] == '0')
    {
        p[s.size() - 1] = 0;
    }else
    {
        p[s.size() - 1] = 1;
    }//判断最后一位
    for(int i = s.size() - 2;i >= 0;i--)//倒推
    {
        if(s[i] == s[i + 1])
        {
            p[i] = p[i + 1];
        }else
        {
            p[i] = p[i + 1] + 1;
        }//递推公式
    }
    cout<<p[0];//输出第一个的p
    return 0;
}

复杂度\(\Theta (n)\)

计蒜客T42256硬币--题解

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原文地址：https://www.cnblogs.com/huoshihongqwq/p/12109634.html