标签：turn   ||   display   sum   传送门   www   ref   com   ret   

多项式乘法

\(FFT \Rightarrow\) 传送门

\(NTT \Rightarrow\) 传送门

\(FFT\)

void FFT(int lim, Complex *a, int op) {
    for (int i = 0; i < lim; ++i)
        if (i < r[i]) swap(a[i], a[r[i]]);
    for (int len = 2; len <= lim; len <<= 1) {
        int mid = len >> 1;
        Complex Wn = {cos(Pi / mid), op * sin(Pi / mid)};
        for (int i = 0; i < lim; i += len) {
            Complex w = {1, 0};
            for (int j = 0; j < mid; ++j, w = w * Wn) {
                Complex x = a[i + j], y = w * a[i + j + mid];
                a[i + j] = x + y;
                a[i + j + mid] = x - y;
            }
        }
    }
}

\(NTT\)

ll root(const ll p) {
    for (int i = 2; i <= p; ++i) {
        int x = p - 1;
        bool flag = true;
        for (int k = 2; k * k <= p - 1; ++k) if (!(x % k)) {
            if (ksm(i, (p - 1) / k) == 1) {
                flag = false;
                break;
            }
            while (!(x % k)) x /= k;
        }
        if (flag && (x == 1 || ksm(i, (p - 1) / x) != 1)) return i;
    }
}
void NTT(int lim, ll *a, int op) {
    for (int i = 0; i < lim; ++i)
        if (i < r[i]) swap(a[i], a[r[i]]);
    for (int len = 2; len <= lim; len <<= 1) {
        int mid = len >> 1;
        ll Wn = ksm(op == 1 ? G : Gx, (mod - 1) / len);
        for (int i = 0; i < lim; i += len) {
            ll w = 1;
            for (int j = 0; j < mid; ++j, w = (w * Wn) % mod) {
                ll x = a[i + j], y = w * a[i + j + mid] % mod;
                a[i + j] = (x + y) % mod;
                a[i + j + mid] = (x - y + mod) % mod;
            }
        }
    }
}

多项式求逆

当多项式只有一项时，那么显然 \(G_0\) 就是 \(F_0\) 的逆元。

考虑一般情况下，如果我们已知 \(F(x) H(x) \equiv 1 (\mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})\) ，如何求出 \(F(X)G(x) \equiv 1(\mod x^n)\)

已知 \(F(x) H(x) \equiv 1 (\mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})\)

又显然 \(F(X)G(x) \equiv 1(\mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})\)

模 \(x ^ n\) 相当于将次数大于等于 \(n\) 的项舍去了，模 \(x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\) 则相当于舍去了更多的项，所以前者满足，后者一定满足。

将两个式子相减 \(F(x)\left[ G(x) - H(x) \right] \equiv 0 (\mod x ^ {\lceil \frac{n}{2} \rceil})\)

即 \(G(x) - H(x) \equiv 0 (\mod x ^ {\lceil \frac{n}{2} \rceil})\)

然后将两边·平方一下
\[ G^2(x) - 2G(x)H(x)+ H^2(x) \equiv 0 (\mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}) \]
由于 \(G(x)-H(x)\) 在 模 \(x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\) 下为 \(0\)，所以这个式子的结果的 \(0\) 到 \(\lceil \frac{n}{2} \rceil - 1\) 次项系数都为 \(0\)。

而平方之后，对于结果的 \(i\) 次项（\(0 \le i \le 2 \times \lceil \frac{n}{2} \rceil - 1\)），其系数 \(a_i=\sum \limits_{j=0}^{i} a_j a_{i-j}\)， 其中 \(a_j\) 和 \(a_{i-j}\) 必定至少有一项小于等于 \(\lceil \frac{n}{2} \rceil - 1\)，所以可以得知，平方之后的式子在模 \(x^n\) 意义下也为 \(0\)。
\[ G^2(x) - 2G(x)H(x)+ H^2(x) \equiv 0 (\mod x^{n}) \]
给式子乘上一个 \(F(x)\)，得到
\[ F(x)G^2(x) - 2F(x)G(x)H(x)+ F(x)H^2(x) \equiv 0 (\mod x^{n}) \]
由多项式乘法逆的定义 \(F(x)G(x)\equiv 0(\mod x ^n)\)可以得到
\[ G(x) - 2H(x)+ F(x)H^2(x) \equiv 0 (\mod x^{n}) \]
再移项
\[ G(x) \equiv 2H(x)+ F(x)H^2(x) (\mod x^{n}) \]
于是就可以不断倍增，求出多项式乘法逆。

void polyinv(int len, int *A, int * B) {
    if (len == 1) {
        B[0] = fpow(A[0], P - 2);
        return;
    }
    static int tmp[_];
    polyinv((len + 1) >> 1, A, B);
    int lim = 1, k = 0;
    while (lim < (len << 1)) lim <<= 1, ++k;
    for (int i = 0; i < lim; ++i) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (k - 1));
    copy(A, A + len, tmp);
    fill(tmp + len, tmp + lim, 0);
    NTT(lim, tmp, 1);
    NTT(lim, B, 1);
    for (int i = 0; i < lim; ++i)
        B[i] = (2ll - 1ll * B[i] * tmp[i] % P + P) * B[i] % P;
    NTT(lim, B, -1);
    fill(B + len, B + lim, 0);
}

多项式除法

多项式全家桶

标签：turn   ||   display   sum   传送门   www   ref   com   ret   

原文地址：https://www.cnblogs.com/newbielyx/p/12219190.html