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线性代数期末大总结I

时间:2020-05-15 20:39:27      阅读:121      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:mat   ali   变换   等价   str   最简   结果   线性   math   

行列式

n阶行列式的计算:

\[\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{matrix}\right|=\sum(-1)^{t}a_{1p_1}a_{2p_3}\cdots a_{np_n} \]

其中t为排列\(p_1p_2p_3 \cdots p_n\)的逆序数,由于这样的排列共有\(n!\)个,所以n阶行列式共有\(n!\)项。
行列式的性质:

  • 行列式与他的转置行列式相等

  • 对换行列式的两行/列,行列式变号

    可推出:如果行列式有两行/列完全相等,则行列式等于0

  • 行列式的某一行/列中多有元素乘以k,等于k乘以此行列式

  • 行列式中如果有两行/列元素成比例,则此行列式等于0

  • 把行列式的某一行/列元素同乘以某数k,再加到另一行/列对应元素上,行列式不变

  • 如下:

    \[若D=\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{i1}+a_{i1}^, & a_{i2}+a_{i2}^, & \cdots & a_{in}+a_{in}^, \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{matrix}\right| \]

\[则D=\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{i1}^, & a_{i2}^, & \cdots & a_{in}^, \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{matrix}\right| \]

行列式等于它的任一行/列各个元素与其对应得代数余子式乘积得和。

矩阵的运算

  • 矩阵加法:两同型矩阵对应元素相加。

  • 数与矩阵相乘:等于该矩阵所有元素同乘该数。

  • 矩阵与矩阵相乘:如\(AxB\)结果的第i行j列元素为A的i行与B的j列对应元素相乘再相加。

  • 矩阵的转置:

    \[(A^T)^T=A\(A+B)^T=A^T+B^T\(\lambda A)^T=\lambda A^T\(AB)^T=B^TA^T \]

  • 方阵的行列式:

\[|A^T|=|A|\|\lambda A|=\lambda^n|A|\|AB|=|A||B| \]

  • 伴随矩阵:其中\(A_{ij}\)\(|A|\)的代数余子式

    \[矩阵A的伴随矩阵A^*= \left[ \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\end{matrix} \right] \可得:AA^*=A^*A=|A|E \]

逆矩阵:

定义:对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B使得\(AB=BA=E\),那么称A可逆,B为A的逆矩阵。

  • 若A可逆,则\(|A| \neq 0\)

  • \(|A| \neq 0\),则:

    \[A^{-1}=\frac{A^*}{|A|} \]

\(|A|=0\)时,A称为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵。由以上两定理可知:

A是可逆矩阵的充分必要条件是\(|A| \neq 0\),即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

逆矩阵满足下述运算规律:

\[(A^{-1})^{-1}=A \(\lambda A)^{-1}=\frac{A^{-1}}{\lambda} \(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \]

逆矩阵的初步运用:

\(\varphi (A)=a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m\)为矩阵A的m次多项式。

  • 如果$ A=P\Lambda P^{-1} \(,则\) A^k = P\LambdakP{-1} $,从而:

    \[\begin{align} \varphi(A) & = a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m \& = Pa_0EP^{-1} + Pa_1\Lambda P^{-1} + \cdots + Pa_m\Lambda^m P^{-1} \& = P(a_0E + a_1\Lambda + \cdots + a_m\Lambda^m)P^{-1} \& = P \varphi(\Lambda)P^{-1} \end{align} \]

  • 如果\(\Lambda = diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)为对角矩阵,则\(\Lambda^k = diag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k)\),从而:

    \[\begin{align}\varphi(\Lambda)& = a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m\\& = \left[\begin{matrix} \varphi(\lambda_1) \\ &\varphi(\lambda_2)\\ &&\ddots\\ &&&\varphi(\lambda_n)\end{matrix}\right]\end{align} \]

克拉默法则:

  • 如果线性方程的系数矩阵A的行列式不等于零,则方程组有唯一解:

    \[x_n = \frac{|A_n|}{|A|} \]

分块矩阵:

  • 转置:

\[A=\left[\begin{matrix}A_{11} & \cdots & A_{1r}\\\vdots & & \vdots\\A_{s1} & \cdots & A_{sr}\\\end{matrix}\right]\\A^T=\left[\begin{matrix}A_{11}^T & \cdots & A_{s1}^T\\\vdots & & \vdots\\A_{1r}^T & \cdots & A_{sr}^T\\\end{matrix}\right] \]

  • 分块对角矩阵:\(A_i\)是方阵,则如下A分块矩阵为分块对角矩阵

\[A=\left[\begin{matrix}A_{1} \\& A_2\\& & \ddots\\& & & A_s\end{matrix}\right] \]

分块对角矩阵有如下性质:

\[|A|=|A_1||A_2|\cdots|A_s|\\A^{-1}=\left[\begin{matrix}A_{1}^{-1} \\& A_2^{-1}\\& & \ddots\\& & & A_s^{-1}\end{matrix}\right] \]

\[|A|=|A_1||A_2|\cdots|A_s|\\A^{-1}=\left[\begin{matrix}A_{1}^{-1} \\& A_2^{-1}\\& & \ddots\\& & & A_s^{-1}\end{matrix}\right] \]

矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换:

  • 如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,则称矩阵A与B行等价

  • 如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,则称矩阵A与B列等价

  • 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价

  • 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,初等矩阵可逆,有限个可逆矩阵乘积仍然可逆。

行阶梯形矩阵:非零行在零行上面,非零行的首非零元素所在列在上一行的首非零元素所在列的右面。
行最简形矩阵:非零行的首非零元为1,首非零元所在的列的其余元均为0。

方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵\(P_1P_2\cdots P_l\)使得\(A=P_1P_2\cdots P_l\)

可推出:方阵A可逆的充要条件是A与E行等价

矩阵的秩:

K阶子式与秩:在m行n列的矩阵A中,任取k行k列,位于这些行列交叉处的元素,不改变相对位置而得到的K阶行列式,称为A的k阶子式。A的最高阶子式设为r阶子式,那么r就为A的秩 ,记作R(A)=r

  • 如果A行等价B,则A与B中非零子式的最高阶数相等。

  • \(R(A)=R(A^T)\)

  • 可逆矩阵又称满秩矩阵,不可逆矩阵又称为降秩矩阵。

  • 初等变换作为一种运算,其深刻意义在于不改变矩阵的秩。

性质(不完全):

  • \(R(A+B) \leq R(A)+R(B)\)
  • \(R(AB) \leq min\{R(A), R(B)\}\)
  • \(A_{m,n}B_{n,l}=O\),则\(R(A) + R(B) \leq n\)
  • \(AB=O\)且A为满秩矩阵,则\(B=O\)

线性方程组的解:
n元线性方程组\(Ax=b\)

  • 无解充要条件是\(R(A)<R(A,b)\)
  • 唯一解充要条件\(R(A)=R(A,b)=n\)
  • 无穷解充要条件\(R(A)=R(A,b)<n\)
  1. \(Ax=0\)有非零解的充要条件是\(R(A)<n\)
  2. 矩阵方程\(AX=B\)有解的充要条件是\(R(A)=R(A,B)\)
  3. \(AB=C\),则\(R(C)\leq min\{R(A), R(B)\}\)

线性代数期末大总结I

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原文地址:https://www.cnblogs.com/xxmmqg/p/12896498.html

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