标签：lin rac 多项式 class 使用 构造 line 问题 函数
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很多题目中，数列要转化为等差/等比数列解决。
然而使用生成函数可以解决大量数列递推问题。
以\(a_n=4a_{n-1}-4a_{n-2}\)为例。
\(a_1=4,a_2=12\)
移项得到\(a_n-4a_{n-1}+4a_{n-2}=0\)
构造多项式\(f(x)=\sum^{\inf}_{i=1}x^ia_i\)
\(f(x)-4xf(x)+4x^2f(x)=\sum_{i=1}^{\inf}a_nx^i-\sum_{i=2}^{inf}4a_{n-1}x^i+\sum_{i=3}^{\inf}4a_{n-2}x^i\)
\(f(x)-4xf(x)+4x^2f(x)=\sum_{i=3}^{\inf}(a_n-4a_{n-1}+4a_{n-2})x^i+4x+12x^2-16x^2=f(x)-4xf(x)+4x^2f(x)=\sum_{i=3}^{\inf}(a_n-4a_{n-1}+4a_{n-2})x^i+4x+8x^2=4x-4x^2\)
\((2x-1)^2f(x)=4x-4x^2\)
\(f(x)=\cfrac{4x-4x^2}{(2x-1)(2x-1)}\)
\(f(x)=(4x-4x^2)\cfrac{1}{1-2x}\cfrac{1}{1-2x}\)
\(f(x)=(4x-4x^2)(\sum_{i=0}^{\inf}2^ix^i)(\sum_{i=0}^{\inf}2^ix^i)=4x(\sum_{i=0}^{\inf}2^ix^i)(\sum_{i=0}^{\inf}2^ix^i)-4x^2(\sum_{i=0}^{\inf}2^ix^i)(\sum_{i=0}^{\inf}2^ix^i)\)
\([x^i]f(x)=4\sum_{j=0}^{i-1}2^{i-1}-4\sum_{j=0}^{i-2}2^{i-2}=2^{i+1}i+2^i(i-1)=a_i\)
计算量有点大。
标签：lin rac 多项式 class 使用 构造 line 问题 函数
原文地址：https://www.cnblogs.com/cszmc2004/p/13259925.html
