标签：span isp rac spl min div line sqrt 不等式
已知\(f(x)=e^{2x}-alnx-bx,x\in (0,+∞)\)
\((1)\)当\(a=0\)时，求函数\(f(x)\)的极值
\((2)\)当\(b=0,a>0\)时，求证：\(f(x)\ge 2a+a;n\frac{2}{a}\)
解：
\((1)\)
当\(a=0\)时
\[f(x)=e^{2x}-bx
\]
\[f‘(x)=2e^{2x}-b
\]
当\(b\le 2\)时
\(f‘(x)\ge 0\)，\(f(x)\)无极值
当\(b>2\)时
\[f‘(x)=2e^{2x}-b=0
\]
\[x=\frac{1}{2}ln(\frac{b}{2})
\]
\(f(x)\)极小值为\(f(\frac{1}{2}ln(\frac{b}{2}))=\frac{b}{2}ln(1-\frac{b}{2})\)，无极大值
\((2)\)
当\(b=0,a>0\)时
\[f(x)=e^{2x}-alnx
\]
\[f‘(x)=2e^{2x}-\frac{a}{x}
\]
\(2e^{2x}\)单调增，\(-\frac{a}{x}\)单调增，所以\(f‘(x)\)单调增
\[f‘(x→0)→-∞<0
\]
\[f(a)=2e^{2a}-\frac{a}{a}>0
\]
所以在\((0,a)\)中\(f‘(x)\)存在零点\(x_0\)
\[f‘(x_0)=2e^{2x_0}-\frac{a}{x_0}=0
\]
\[2e^{2x_0}=\frac{a}{x_0}
\]
\[2x_0=ln\frac{a}{x_0}
\]
\[f_{min}(x)=f(x_0)=e^{2x_0}-\frac{a}{x_0}
\]
\[=\frac{a}{2x_0}+2ax_0-2ax_0-alnx_0
\]
\[=\frac{a}{2x_0}+2ax_0-a(2x_0+lnx_0)
\]
\[=\frac{a}{2x_0}+2ax_0-a(ln\frac{a}{2x_0}+lnx_0)
\]
\[=\frac{a}{2x_0}+2ax_0-aln\frac{a}{2}
\]
\[=\frac{a}{2x_0}+2ax_0+aln\frac{2}{a}\ge 2*\sqrt{\frac{a}{2x_0}*2ax_0}+aln\frac{2}{a}=2a+aln\frac{2}{a}
\]
综上\(f(x)\ge 2a+ln\frac{2}{a}\)
构造+均值不等式
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原文地址：https://www.cnblogs.com/knife-rose/p/13292584.html
