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二项分布(离散型随机变量)
如果离散型随机变量 \(X\) 的分布律为
\[P\{X=k\}=\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}, k=0,1, \cdots, n
\]
其中 \(0<p<1, q+p=1,\) 则称 \(X\) 服从二项分布，记为 \(X \sim B(n, p) .\) 显然, \(P\{X=k\} \geqslant 0, k=0,1, \cdots,\) 而且
\[\sum_{k=0}^{n} P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}=(p+q)^{n}=1
\]
因此，二项分布满足分布律的两个基本性质. 特别地，当 \(n=1\) 时，二项分布退化为两点分布
\[P\{X=k\}=p^{k} q^{1-k}, k=0,1
\]
离散型随机变量的数学期望
\begin{array}{c}
\text { 设随机变量 } X \sim B(n, p), \text { 其分布律为 } \
P|X=k|=C_{n}^{k} p^{k} q^{n-1}, \quad k=0,1,2, \cdots, n, 0<p<1, p+q=1,
\end{array}
\[\begin{aligned} E(X) &=\sum_{k=1}^{n} k \mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}=\sum_{k=1}^{n} k \frac{n(n-1) \cdots[n-(k-1)]}{k !} p^{k} q^{n-k} \\ &=n p \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1) \cdots[n-1-(k-2)]}{(k-1) !} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)} \\ &=n p \sum_{k^{\prime}=0}^{n-1} C_{n-1}^{k^{\prime}} p^{k^{\prime}} q^{(n-1)-k^{\prime}} \quad\left(k^{\prime}=k-1\right) \\=& n p(p+q)^{(n-1)}=n p \\ 从而 E(X) &=n p \end{aligned}
\]
离散型随机变量的方差
几种常见的分布及其性质
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Acapplella/p/13936285.html
