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XVI.「SWTR-03」Counting Trees

说起来他们那场比赛还找我帮忙验了这题来着的，然后我\(50\%\)暴力都不会

先说结论：任何度数之和等于\(2m-2\)的\(m\)个节点，都可以构成至少一颗树。该结论可以通过一个名叫prufer序列的神奇玩意证出。

于是我们现在就有这样的判别式：

我们将\(2m\)移到左边，就得到了

好像是背包的样子呢！跟上题差不多嘛。

但是这题与上题有两个最大的不同点：

1. 这里背包元素大小可能为负（因为减二了），并且目标结果也为负。

2. 这题是01背包，而上题是完全背包。

（1）是比较好处理的，因为如果为负的话，只有可能为\(-1\)；于是我们可以挑出所有正的\(d_i-2\)跑一个01背包。则\(d_i-2=0\)的所有数，无论选不选都不影响和，故最终结果直接乘上一个\(2^{buc_0}\)即可；而\(-1\)的话，只需要枚举选择了多少个\(-1\)，然后答案就是\(\sum\limits_{i=2}^{buc_{-1}}\dbinom{buc_{-1}}{i}\times g_{i-2}\)。

关键是（2）。

我们发现此时的\(f(x)=1+x^v\)，而我们最终要求的仍是\(\sum\limits_{i=1}^n\ln f(x)\)。

于是观察\(\ln f(x)\)。

套用\(f\)的定义，它等于

求导再积分回去，得到

考虑\((x^v+1)^{-1}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}(-x^v)^i\)

所以代回去，最终得到

\(\sum\limits_{i=1}^{\infty}(-1)^{i-1}x^{vi}\)

然后就是上题内容了。

代码：

#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<20;
const int mod=998244353;
const int G=3;
int ksm(int x,int y){
	int rt=1;
	for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)rt=(1ll*rt*x)%mod;
	return rt;
}
int n,m,f[N],g[N],all,INV[N],FAC[N],buc[N],_0,_1,res;
namespace Poly{
	int rev[N];
	void NTT(int *a,int tp,int LG){
		int lim=(1<<LG),invlim=ksm(lim,mod-2);
		for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(LG-1));
		for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
		for(int md=1;md<lim;md<<=1){
			int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
			if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
			for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
				int w=1;
				for(int i=0;i<md;i++,w=(1ll*w*rt)%mod){
					int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
					a[pos+i]=(x+y)%mod;
					a[pos+md+i]=(x-y+mod)%mod;
				}
			}
		}
		if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(1ll*a[i]*invlim)%mod;
	}
	int A[N],B[N],C[N],D[N],E[N];
	void mul(int *a,int *b,int *c,int LG){//using: Array A and B
		int lim=(1<<LG);
		for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
		for(int i=0;i<(lim>>1);i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
		NTT(A,1,LG),NTT(B,1,LG);
		for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
		NTT(A,-1,LG);
		for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=A[i];
	}
	void inv(int *a,int *b,int LG){//using: Array C
		b[0]=ksm(a[0],mod-2);
		for(int k=1;k<=LG+1;k++){
			mul(b,a,C,k);
			for(int i=0;i<(1<<k);i++)C[i]=(mod-C[i])%mod;
			(C[0]+=2)%=mod;
			mul(C,b,b,k);
		}
	}
	void diff(int *a,int *b,int lim){
		for(int i=0;i<lim;i++)b[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%mod;
		b[lim-1]=0;
	}
	void inte(int *a,int *b,int lim){
		for(int i=lim-1;i;i--)b[i]=1ll*a[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
		b[0]=0;
	}
	void ln(int *a,int *b,int LG){//using: Array C
		inv(a,b,LG);
		diff(a,C,1<<LG);
		mul(b,C,b,LG+1);
		inte(b,b,1<<LG);
	}
	void exp(int *a,int *b,int LG){//using: Array D
		b[0]=1;
		for(int k=1;k<=LG+1;k++){
			ln(b,D,k-1);
			for(int i=0;i<(1<<(k-1));i++)D[i]=(a[i]-D[i]+mod)%mod;
			D[0]=(D[0]+1)%mod;
			mul(b,D,b,k);
		}
	}
}
using namespace Poly;
int BIN(int x,int y){return 1ll*FAC[x]*INV[y]%mod*INV[x-y]%mod;}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	while((1<<all)<=n)all++;
	INV[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++)INV[i]=(-1ll*(mod/i)*INV[mod%i]%mod+mod)%mod;
	for(int i=1,x;i<=n;i++){
		scanf("%d",&x),x-=2;
		if(x==-1)_1++;
		else if(x==0)_0++;
		else buc[x]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1,x;i*j<=n;j++)x=1ll*buc[i]*INV[j]%mod,(f[i*j]+=(j&1)?x:mod-x)%=mod;
	exp(f,g,all);
	FAC[0]=INV[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)FAC[i]=1ll*FAC[i-1]*i%mod,INV[i]=1ll*INV[i-1]*INV[i]%mod;
	for(int i=0;i+2<=_1;i++)(res+=1ll*g[i]*BIN(_1,i+2)%mod)%=mod;
	res=1ll*res*ksm(2,_0)%mod;
	printf("%d\n",res);
	return 0;
}

「SWTR-03」Counting Trees

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