标签：计算 样本 mat 个数 公式 统计 相等 math 估计
现用\(\mathbb{E}_3,\mathbb{D}_3\)表示在固定初级单元、二级单元时，对第三阶段抽样求均值和方差；\(\mathbb{E}_2,\mathbb{D}_2\)表示在固定初级单元时，对第二阶段求均值和方差；\(\mathbb{E}_1,\mathbb{D}_1\)表示对初级单元求均值和方差。显然有
于是
注意到\(\mathbb{E}_2\mathbb{E}_3(\hat\theta^2)-[\mathbb{E}_2\mathbb{E}_3(\hat\theta)]^2\)实际上是固定初级单元时，对后面两个单元合作抽样的方差，所以
故
考虑初级单元中二级单元个数相等，二级单元中三级单元个数相等的情形。第一阶段从包含\(N\)个初级单元的总体中以简单随机抽样方式抽取\(n\)个初级单元；第二阶段从包含\(M\)个二级单元的总体中以简单随机抽样方式抽取\(m\)个二级单元；第三阶段从包含\(L\)个三级单元的总体中以简单随机抽样方式抽取\(l\)个三级单元。
对总体均值的估计为
它是无偏的。
此时\(\mathbb{E}(\bar{\bar {\bar y}})=\mathbb{E}_1\mathbb{E}_2\mathbb{E}_3(\bar{\bar {\bar y}})\)，且三个阶段均是简单随机抽样。有
\[\begin{aligned} \mathbb{E}(\bar{\bar {\bar y}})&=\mathbb{E}_1\mathbb{E}_2\mathbb{E}_3(\bar{\bar {\bar y}})\&=\mathbb{E}_1\mathbb{E}_2\mathbb{E}_3\left(\frac{1}{nm}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\bar{\bar y}_{ij} \right)\&=\mathbb{E}_1\mathbb{E}_2\left(\frac{1}{nm}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\bar{\bar Y}_{ij} \right)\&=\frac{1}{nm}\mathbb{E}_1\left[\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}_2\left(\sum_{j=1}^{m}\bar{\bar Y}_{ij} \right)\right] \end{aligned} \]此处，\(\displaystyle{\sum_{j=1}^{m}\bar{\bar Y}_{ij}}\)是第二阶段简单随机抽样（将二级单元的总体均值视为抽样单元）的样本总值，故\(\displaystyle{\mathbb{E}_2\left(\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}\bar{\bar Y}_{ij} \right)=\bar {\bar Y}_{i}}\)；接下来，\(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\bar{\bar Y}_{i}}\)是第一阶段简单随机抽样（将一级单元总体均值视为抽样单元）的样本总值，故\(\displaystyle{\mathbb{E}_1\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bar{\bar Y_i} \right)}=\bar{\bar{\bar{Y}}}\)。从而
\[\mathbb{E}(\bar{\bar {\bar y}})=\bar{\bar{\bar Y}}. \]
下计算其方差，先给出几个记号：
此时
有
\[\mathbb{D}(\bar{\bar{\bar y}})=\mathbb{E}_1\mathbb{E}_2\mathbb{D}_3(\bar{\bar{\bar y}})+\mathbb{E}_1\mathbb{D}_2\mathbb{E}_3(\bar{\bar{\bar y}})+\mathbb{D}_1\mathbb{E}_2\mathbb{E}_3(\bar{\bar{\bar y}}). \]逐项计算。
计算第一项要用到此结果：
\[\displaystyle{\mathbb{D}_3(\bar{\bar y}_{ij})=\frac{1-f_3}{l}\frac{1}{L-1}\sum_{k=1}^{L}(Y_{ijk}-\bar{\bar{Y}}_{ij})^2}, \]不妨记\(\displaystyle{\frac{1}{L-1}\sum_{k=1}^{L}(Y_{ijk}-\bar{\bar Y}_{ij})^2}=S_{3ij}^2\)，并记\(\displaystyle{S_3^2=\frac{1}{NM}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}S_{3ij}^2}\)，则
\[\begin{aligned} \mathbb{E}_1\mathbb{E}_2\mathbb{D}_3(\bar{\bar{\bar y}})&=\mathbb{E}_1\mathbb{E}_2\mathbb{D}_3\left(\frac{1}{nm}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\bar{ y}_{ij} \right)\&=\frac{1}{n^2m^2}\mathbb{E}_1\mathbb{E}_2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\mathbb{D}_3(\bar{ y}_{ij})\&=\frac{1-f_3}{nml}\mathbb{E}_1\mathbb{E}_2\left(\frac{1}{nm}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}S_{3ij}^2 \right)\&=\frac{1-f_3}{nml}\frac{1}{NM}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}S_{3ij}^2\&=\frac{1-f_3}{nml}S_3^2. \end{aligned} \]计算第二项要用到此结果：
\[\mathbb{D}_2\left(\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}\bar { Y}_{ij} \right)=\frac{1-f_2}{m}\frac{1}{1-M}\sum_{j=1}^{M}(\bar{ Y}_{ij}-\bar{\bar Y}_i)^2 \]不妨记\(\displaystyle{\frac{1}{1-M}\sum_{j=1}^{M}(\bar{Y}_{ij}-\bar{\bar Y}_i)^2=S_{2i}^2}\)，并记\(\displaystyle{S_2^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}S_{2i}^2}\)，则第二项为
\[\begin{aligned} \mathbb{E}_1\mathbb{D}_2\mathbb{E}_3(\bar{\bar{\bar y}})&=\mathbb{E}_1\mathbb{D}_2\left(\frac{1}{nm}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\bar{ Y}_{ij} \right)\&=\frac{1}{n^2}\mathbb{E}_1\left[\sum_{i=1}^{n}\mathbb{D}_2\left(\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}\bar{ Y}_{ij} \right)\right]\&=\frac{1}{n^2}\mathbb{E}_1\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1-f_2}{m}S_{2i}^2 \right)\&=\frac{1-f_2}{nm}\mathbb{E}_1\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}S_{2i}^2 \right)\&=\frac{1-f_2}{nm}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}S_{2i}^2\&=\frac{1-f_2}{nm}S_{2}^2. \end{aligned} \]记\(\displaystyle{S_1^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(\bar{\bar Y}_i-\bar{\bar{\bar Y}})^2}\)，则第三项为
\[\begin{aligned} \mathbb{D}_1\mathbb{E}_2\mathbb{E}_3(\bar{\bar{\bar y}})&=\mathbb{D}_1\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bar{\bar Y}_i \right)\&=\frac{1-f_1}{n}\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(\bar{\bar Y}_i-\bar{\bar{\bar Y}})^2\&=\frac{1-f_1}{n}S_1^2. \end{aligned} \]
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原文地址：https://www.cnblogs.com/jy333/p/sampling_survey_5.html
