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[复变函数]第21堂课 6 留数理论及其应用 6. 1 留数

时间:2014-05-01 03:47:46      阅读:352      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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0.  引言---回忆

(1)  Cauchy 积分公式 (第三章) \beex \bea f\mbox{ 在 }D\mbox{ 内解析}, \mbox{ 在 }\bar D=D+\p D\mbox{ 上连续}&\ra \int_C \cfrac{f(z)}{z-a}\rd z=2\pi if(a),\quad a\in D\\ &\ra \int_C \cfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\rd z=\cfrac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(a),\quad a\in D \eea \eeex

(2)  Laurent 定理 \bex f\mbox{ 以 }a\mbox{ 为孤立奇点}\ra f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(z-a)^n, \eex 其中 \bex c_n=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|z-a|=\rho}\cfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\rd z, \eex 特别地, 当 n=1 时, \bex c_{-1}=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|z-a|=\rho}f(z)\rd z.  \eex

(3)  它们都可用来计算周线积分, 比如 \dps{I=\int_{|z|=1}\cfrac{\sin z}{z^2}\rd z} :

a.  \bex I=\cfrac{2\pi i}{1!}(\sin z)‘|_{z=0}=2\pi i.  \eex

b.  \beex \bea &\quad\cfrac{\sin z}{z^2}=\cfrac{1}{z^2}\sex{z-\cfrac{z^3}{3!}+\cdots} =\cfrac{1}{z}-\cfrac{z}{3!}+\cdots\\ &\ra I=2\pi i\cdot c_{-1}=2\pi i.  \eea \eeex 但 Cauchy 积分定理只能计算复函数在周线内仅有一个极点的情形.

 

1.  留数

(1)  定义: 设 a f 的孤立奇点, 则称积分 \bex \cfrac{1}{2\pi i}\int_{|z-a|=\rho}f(z)\rd z \eex f a 的留数, 记作 \underset{z=a}{\Res}f(z) .

(2)  \underset{z=a}{\Res}f(z)=c_{-1} .

(3)  Cauchy 留数定理: \bex (\mbox{大范围积分}) \int_Cf(z)\rd z=2\pi i\sum_{k=1}^n \underset{z=a_k}{\Res}f(z). \eex

 

2.  计算

(1)  设 a f n 阶极点, 即 \bex f(z)=\cfrac{\phi(z)}{(z-a)^n},\quad \phi(a)\neq 0, \eex \bex \underset{z=a}{\Res}f(z) =\cfrac{\phi^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}. \eex

(2)  设 a f 的一阶极点, \phi(z)=(z-a)f(z) , 则 \bex \underset{z=a}{\Res}f(z)=\phi(a). \eex

(3)  设 a f 的二阶极点, \phi(z)=(z-a)^2f(z) , 则 \bex \underset{z=a}{\Res}f(z)=\phi‘(a). \eex

(4)  设 a f=\cfrac{\phi}{\psi} 的一阶极点 (\phi(a)\neq 0,\ \psi(a)=0,\ \psi‘(a)\neq 0 ), 则 \bex \underset{z=a}{\Res}f(z)=\cfrac{\phi(a)}{\psi‘(a)}. \eex

(5)  例

a.  \dps{\int_{|z|=2}\cfrac{5z-2}{z(z-1)^2}\rd z} .

b.  \dps{\int_{|z|=n}\tan \pi z\rd z\ (n\in\bbZ^+)} .

c.  \dps{\int_{|z|=1}\cfrac{\cos z}{z^3}\rd z} .

d.  \dps{\int_{|z|=1} e^\frac{1}{z^2}\rd z} .

e.  \dps{\underset{z=1}{\Res} e^{\frac{1}{z-1}},\quad \underset{z=1}{\Res}\cfrac{z^{2n}}{(z-1)^n},\quad \underset{z=1}{\Res}\cfrac{e^z}{z^2-1},\quad \underset{z=-1}{\Res}\cfrac{e^z}{z^2-1}} .

 

作业: P 262 T 1 (1)  (2)  (3) . 

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