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读贾志鹏《线性筛法与积性函数》笔记

时间:2014-06-25 22:11:51      阅读:574      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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1.欧拉筛法在线性时间内求素数以及欧拉函数

代码:

bubuko.com,布布扣
 1 procedure get;
 2  var i,j,k:longint;
 3  begin
 4  tot:=0;
 5  fillchar(check,sizeof(check),false);
 6  for i:=2 to n do
 7   begin
 8   if not(check[i]) then
 9    begin
10     inc(tot);
11     p[tot]:=i;
12     fai[i]:=i-1;
13    end;
14   for j:=1 to tot do
15    begin
16     k:=i*p[j];
17     if k>n then break;
18     check[k]:=true;
19     if i mod p[j]=0 then
20      begin
21       fai[k]:=fai[i]*p[j];
22       break;
23      end
24     else
25       fai[k]:=fai[i]*(p[j]-1);
26    end;
27  end;
28 end;
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其主要优越性在于:每个合数只被筛了一次,而且是被它的最小素因子筛掉的。

证明如下:

设合数n最小的质因数为p,它的另一个大于p的质因数为p′ ,令
n = pm = p′ m′ 。观察上面的程序片段,可以发现j循环到质因数p
时合数n第一次被标记(若循环到p 之前已经跳出循环,说明n 有
更小的质因数),若也被p′标记,则是在这之前(因为m′ < m)
,考虑i循环到m′ ,注意到n = pm = p′ m′ 且p, p′为不同的质数,因
此p|m′,所以当j循环到质数p后结束,不会循环到p′,这就说明不
会被p′ 筛去。

2.sigma(φ(d),d I n)=n

这也是可以证明的,这里略去(不会上传图片),其实这个结论正是noi2002 robot 1题中的关键思路

3.当n > 1时, 1 ... n中与n互质的整数和为n*φ (n) div 2

这个可以这样考虑,假如x与n互质,那么n-x也一定与n互质,所以φ(n)肯定是个偶数,将这φ(n)

两两配对,即得结论

4.若f (n) 为积性函数,则函数g n = sigma(f(d),d|n)也是积性函数,反之亦然。

莫比乌斯反演的基本形式就是:

g(n) = sigma(d|n, f(d))
f(n) = sigma(d|n, μ(n/d) * g(d))

还有另外一个形式是:

g(n) = sigma(d|n, f(d))
f(n) = sigma(n|d, μ(n) * g(n/d))

5.莫比乌斯函数

bubuko.com,布布扣 bubuko.com,布布扣
bubuko.com,布布扣无平方数因数,且bubuko.com,布布扣
bubuko.com,布布扣有大于bubuko.com,布布扣的平方数因子

6.

莫比乌斯函数是一个积性函数

bubuko.com,布布扣 bubuko.com,布布扣
其他状况

狄利克雷卷积的方法表示,则是 bubuko.com,布布扣 ,其中bubuko.com,布布扣是狄利克雷卷积的单位元,这是默比乌斯反转公式的原理。

这是可以证明的:

当n》1时,考虑n的标准分解式有k项

根据莫比乌斯函数的取值,考虑分类求左边的值,则

左边=0+1+((1-1)的k次方)-1=0

我解释一下:

(1).0是当d含有了大于1的平方数因子时,总和为0

(2).1是当d=1时,和为1

(3).这个比较巧妙,剩下的应该是莫比乌斯函数取值中的第二种情况了

         实际上,(1-1)的k次方是一个组合的过程

         假设我们对n的k个素因子进行选择,一共要选择k次

         如果选,那么代表的它的莫比乌斯函数要变成原来的相反数,所以有个-1

         如果不选,那么让它乘上个-1,保持不变

         也就是说,当你把这个式子展开以后,每一项都有它的实际意义

         比如(-1)*(1)*(-1)*(-1)=-1代表n有4个素因子,我进行了4次选择,选了第1,3,4个素因子,没选第二个,所以莫比乌斯函数值为-1

         这样拆开的每一项除了1都代表着一个因子的莫比乌斯函数值,所以最后要减1

         而我们又可以很明显的看出(1-1)的k次方=0

         实际上,在robot一题中我已静经讲过这种方法的原理了 

         所以,命题得证

         Q.E.D

7.线性时间求解莫比乌斯函数

   代码:

 

bubuko.com,布布扣
 1 procedure get;
 2  var i,j,k:longint;
 3      check:array[0..maxn] of boolean;
 4  begin
 5  fillchar(check,sizeof(check),false);
 6  tot:=0;mu[1]:=1;
 7  for i:=2 to maxn do
 8   begin
 9    if not(check[i]) then begin inc(tot);p[tot]:=i;mu[i]:=-1;end;
10    for j:=1 to tot do
11     begin
12      k:=i*p[j];
13      if k>maxn then break;
14      check[k]:=true;
15      if i mod p[j]<>0 then mu[k]:=-mu[i]
16      else begin mu[k]:=0;break;end;
17     end;
18    end;   
19  end;                               
View Code

实际上,莫比乌斯反演的应用有很多,证明过程也很精彩,但由于不能上传图片,我就不发上来了

读贾志鹏《线性筛法与积性函数》笔记,布布扣,bubuko.com

读贾志鹏《线性筛法与积性函数》笔记

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