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最短路径—Floyd算法

时间:2014-05-06 00:34:06      阅读:333      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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Floyd算法

所有顶点对之间的最短路径问题是:对于给定的有向网络G=(V,E),要对G中任意两个顶点v,w(v不等于w),找出v到w的最短路径。当然我们可以n次执行DIJKSTRA算法,用FLOYD则更为直接,两种方法的时间复杂度都是一样的。

 

1.定义概览

Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权的最短路径问题,同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3),空间复杂度为O(N2)。

 

2.算法描述

1)算法思想原理:

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话,首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题,我们需要为这个目标重新做一个诠释(这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在)

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能,1是直接从i到j,2是从i经过若干个节点k到j。所以,我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离,对于每一个节点k,我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立,如果成立,证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短,我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j),这样一来,当我们遍历完所有节点k,Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述:

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。   

b.对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

以下面的有向网络为例:

 

bubuko.com,布布扣bubuko.com,布布扣

 

bubuko.com,布布扣
  1 #include<stdio.h>
  2 #define n 5   //结点数目
  3 #define maxsize 160  //表示两点间不可达
  4 int path[n][n];//路径矩阵
  5 void floyd(int A[][n],int C[][n]);  //A是路径长度矩阵,C是有向网络G的带权邻接矩阵
  6 void main()
  7 {
  8  printf("               ——所有顶点对之间的最短路径:Floyd算法——\n");
  9  printf("(160为无穷远,不可达)\n");
 10  int A[n][n],C[n][n]={
 11   {0,10,maxsize,30,100},
 12   {maxsize,0,50,maxsize,maxsize},
 13   {maxsize,maxsize,0,maxsize,10},
 14   {maxsize,maxsize,20,0,60},
 15   {maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,0}
 16  };
 17  floyd(A,C);
 18 }
 19 void floyd(int A[][n],int C[][n])  //A是路径长度矩阵,C是有向网络G的带权邻接矩阵
 20 {
 21  int i,j,k,next;
 22  int max=160;
 23  for(i=0;i<n;i++)//设置A和path的初值
 24  {
 25   for(j=0;j<n;j++)
 26   {
 27    if(C[i][j]!=max)
 28     path[i][j]=j;   //j是i的后继
 29    else
 30     path[i][j]=0;
 31    A[i][j]=C[i][j];
 32   }
 33  }
 34  for(k=0;k<n;k++)
 35  //做n次迭代,每次均试图将顶点k扩充到当前求得的从i到j的最短路径Pij上
 36  {
 37   for(i=0;i<n;i++)
 38   {
 39    for(j=0;j<n;j++)
 40    {
 41     if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
 42     {
 43      A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];  //修改长度
 44      path[i][j]=path[i][k];    //修改路径
 45     }
 46    }
 47   }
 48  }
 49  for(i=0;i<n;i++)//输出所有顶点对i,j之间的最短路径Pij的长度及路径
 50  {
 51   for(j=0;j<n;j++)
 52   {
 53    if(i!=j)
 54    {
 55     printf("%d到%d的最短距离为",i+1,j+1);
 56     printf("%d\n",A[i][j]);   //输出Pij的长度
 57     next=path[i][j];        //next为起点i的后继顶点
 58     printf("输出路径:\n");
 59     if(next==0)
 60      printf("%d到%d不可达\n",i+1,j+1);
 61     else//Pij存在
 62     {
 63      printf("%d",i+1);
 64      while(next!=j)
 65      {
 66       printf("——>%d",next+1);  //打印后继点
 67       next=path[next][j];        //继续找下一个后继点
 68      }
 69      printf("——>%d\n",j+1);       //打印终点
 70     }
 71     printf("****************************************************\n");
 72    }
 73   }
 74  }
 75 }
 76  
 77  
 78 运行结果:
 79                ——所有顶点对之间的最短路径:Floyd算法——
 80 (160为无穷远,不可达)
 81 1到2的最短距离为10
 82 输出路径:
 83 1——>2
 84 ****************************************************
 85 1到3的最短距离为50
 86 输出路径:
 87 1——>4——>3
 88 ****************************************************
 89 1到4的最短距离为30
 90 输出路径:
 91 1——>4
 92 ****************************************************
 93 1到5的最短距离为60
 94 输出路径:
 95 1——>4——>3——>5
 96 ****************************************************
 97 2到1的最短距离为160
 98 输出路径:
 99 2到1不可达
100 ****************************************************
101 2到3的最短距离为50
102 输出路径:
103 2——>3
104 ****************************************************
105 2到4的最短距离为160
106 输出路径:
107 2到4不可达
108 ****************************************************
109 2到5的最短距离为60
110 输出路径:
111 2——>3——>5
112 ****************************************************
113 3到1的最短距离为160
114 输出路径:
115 3到1不可达
116 ****************************************************
117 3到2的最短距离为160
118 输出路径:
119 3到2不可达
120 ****************************************************
121 3到4的最短距离为160
122 输出路径:
123 3到4不可达
124 ****************************************************
125 3到5的最短距离为10
126 输出路径:
127 3——>5
128 ****************************************************
129 4到1的最短距离为160
130 输出路径:
131 4到1不可达
132 ****************************************************
133 4到2的最短距离为160
134 输出路径:
135 4到2不可达
136 ****************************************************
137 4到3的最短距离为20
138 输出路径:
139 4——>3
140 ****************************************************
141 4到5的最短距离为30
142 输出路径:
143 4——>3——>5
144 ****************************************************
145 5到1的最短距离为160
146 输出路径:
147 5到1不可达
148 ****************************************************
149 5到2的最短距离为160
150 输出路径:
151 5到2不可达
152 ****************************************************
153 5到3的最短距离为160
154 输出路径:
155 5到3不可达
156 ****************************************************
157 5到4的最短距离为160
158 输出路径:
159 5到4不可达
160 ****************************************************
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 参考:http://blog.sina.com.cn/s/blog_686d0fb001012r05.html

http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

最短路径—Floyd算法,布布扣,bubuko.com

最短路径—Floyd算法

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原文地址:http://www.cnblogs.com/kunhu/p/3704408.html

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