标注问题的数学表达
在找到解决方案之前，我们最好先用数学的语言来描述一下这个问题。当我们得到一个句子时，我们可以把它看做一个向量。令句子s有共计n个单词，第i个单词用xi来表示，显然s = x1, x2, ... xn。因此问题可以描述成，对于每个单词xi，我们需要分别给定一个标注yi，因而获得句子的标注y = y1, y2, ... yn。
综上所述，训练模型时我们期望对于任何一个句子s，我们需要得到所有可能出现的标注的概率p(y | s)，其中概率最大的y即是我们需要的结果。最终的表达式为tagging(s)= arg max(p(y|s))。
接下来，我们需要考虑如何建立训练集并从中学习出上述的模型。首先，我需要获得一个已经标注好的语料库，语料库中有若干句子，每个句子中的每个词都已有标识。然后，对于语料库中出现的所有的句子s与对应的标识y，我们可以学习出条件概率p(y， s)，即某个句子与其对应标识的出现概率。其次，由于语料库无法包含所有可能出现的句子，所以我们希望能够得到一个更加宽泛的表达式，通过贝叶斯公式，我们可以非常看出p(y,
s) = p(y) * p(s | y)，同时p(y | s) = p(y) * p(s | y) / p(s)；我们需要比较的是p(y | s)中的最大值而无需获得p(y | s)，因此显然p(s)的具体取值并不重要，因此我们只需要考虑tagging(s)=
arg max(p(y) * p(s | y))。
由于语料库无法保存所有客观存在的句子，我们必须找到一种方法来估计p(y)与p(s | y)的取值，而其中一种非常有名的方法就是隐马尔科夫模型。
隐马尔科夫模型
我们依然回到上述问题，给定一个句子s = x1, x2, ... xn，我们给出一个标识组合y = y1, y2, ... yn，使得y = arg max(p(y)
* p(s | y)) = arg max(p(x1,
x2, ... , xn, y1, y2, ..., yn))。
根据上一章《语言模型》所提到的，我们依然对每个句子做一点优化：
1）增加一个开始符号”*“，我们定义所有句子都是以”*“开始，即X-1 = X0 = *；
2）增加一个结束符号”STOP“，我们定义所有句子都是以”STOP“结束。
同时，隐马尔科夫模型需要我们做一些额外的假设来简化模型：
1）yk只与前几个元素相关，即标识的语义相关性只影响前后几个元素；
2）单词xk与对应的yk不受其他单词的影响，即p(xi | yi)相互独立.
经过简化以后，我们以三阶隐马尔科夫模型为例，表达式为 p(y1, y2, … yn |
x1, x2, … xn) =
p(y1, y2, … yn) * p(x1, x2, … xn | y1, y2, … yn) = ∏q(yj | yj-2, yj-1) * ∏ e(xi | yi)。显然，简化后的模型，单个单词在语料库中出现的频率会远远高于句子整体出现的频率。
参数估算
有了隐马尔科夫模型之后，我们需要做的就只是估算参数q(yj
| yj-2, yj-1)与e(xi | yi)。q(yj
| yj-2, yj-1)在上一章《语言模型》中有详细的解释，而e(xi
| yi)通过统计每个单词在语料库中的出现情况可以轻松获得。然而有一种特殊情况，某些单词如果在语料库中没有出现，那么e(xi | yi) = 0将导致整体句子的出现概率为0。为了解决这个问题，我们可以采用一个简单的解决方案：
1）首先将语料库中所有的单词分为频繁词与非频繁词（通过一个阈值来确定）；
2）频繁词的e(xi
| yi)将直接从语料库中统计得出；
3）非频繁词的通过预定的规则划分到多个群组中，通过统计群组的词频来确定e(xi
| yi)。
例如，常见的分组方法如下图所示。这种方式对于日期、姓名、缩写等特殊词的效果很好。
算法的复杂度
假设我们已经训练得到q(yj | yj-2, yj-1)与e(xi
| yi)，给定一个句子s = x1, x2, ... xn，我们应当如何得到标注y
= y1, y2, ... yn。
方法1：
暴力方法，遍历所有可能出现的y1, y2, ... yn组合，计算概率并找出概率最大的值。显然，暴力方法的时间复杂度不会令人满意。
方法2：动态规划，定义一个动态规划表达式m(k,
u, v)，k表示句子的第k位，u，v表示前k为组成的子句的最后两个单词的标识。因此，递归方程可以表述为m(k, u, v) = max(m(k-1, w, u) * q(v | w, u) * e( x | v))。关于动态规划方法，
leetcode里有不少案例可以说明。
