二次剩余

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简介

二次剩余是为了解决 \(x^2\equiv n (mode\ p)\) ，已知 \(n，p\) ，求解 \(x\)。

求解过程使用 \(Cipolla\) 算法来进行实现

定理

• 定理 \(1\)：\(x^2 \equiv n(mod\ p)\)中有 \(\frac{p?1}{2}\) 个 \(n\) 能使方程有解。
• 定理 \(2\): \((a+b)^p \equiv a^p+b^p(mod\ p)\)
• 定理 \(3\): \(w^p\equiv -w(mod\ p)\)
• 定理 \(4\): \(a^p\equiv a(mod\ p)\)

勒让德符号

勒让德符号是为了判断一个书是否为 \(p\) 的二次剩余的一个有力工具，\(p\) 一定是要为奇质数。\(\frac{n}{p}\) 是为了表示 \(n\) 为关于 \(p\) 的勒让德符号。其实就是判断 \(n\) 是否为 \(p\) 的二次剩余。

当 \(\frac{n}{p}\) 结果为 \(1\) 时，\(p\) 不是 \(n\) 的倍数， \(n\) 是 \(p\) 的二次剩余

当 \(\frac{n}{p}\) 结果为 \(-1\) 时，\(p\) 不是 \(n\) 的倍数， \(n\) 是 \(p\) 的非二次剩余

当 \(\frac{n}{p}\) 结果为 \(0\) 时，\(p\) 是 \(n\) 的倍数

进行判断 \(n\) 是否为 \(p\) 的二次剩余，可以使用欧拉定理进行解决。

欧拉判别准则

欧拉定理 \(x^{\varphi(p)} \equiv 1(mod\ p)\)

因为 \(p\) 是奇质数，所以 \(x^{p-1} \equiv1(mod\ p)\)

因为 \(x^{p-1} \equiv1(mod\ p)\) ，那么 \(x^{\frac{p-1}{2}} \equiv ±1(mod\ p)\)

如果等于 \(1\) 就肯定开的了方， \(-1\) 则不能

if(pow(n,(p-1)/2,p)==p-1){
	printf("Hola!\n");
	continue;
}

算法流程

题目

给出 \(n\) 和 \(p\) ，
如何求出 \(x^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1(mod\ p)\)

找一个数 \(a\) ，使得勒让德符号为 \(-1\)

也就是求解 \((a^2-n)^{\frac{p-1}{2}} = -1\)

while(true){
	a=rand()%p;
	w=(a*a-n+p)% p;
	if(pow(w,(p-1)/2,p)==p-1)break;
}

时间复杂度异常低，平均每次查找 \(a\) 的期望是 \(2\)，详细原因查看定理 \(1\)

建立一个复数域

对于复数，也就是 \(i\) ，满足 \(i^2=-1\)

之前已经得到一个 \(a\) ，定义 \(w=\sqrt{a^2-n}\) ，

使得现在的 \(w^2=a^2-n\)

可以用一个复数的式子 \(a+bw\) 来求解 \(p\) 的二次剩余。

struct Complex{
    ll x,y;
};
Complex mul(Complex a,Complex b,ll p,ll w){
    Complex c;
    c.x=(a.x*b.x%p+(a.y*b.y)%p*w%p)%p;
    c.y=(a.x*b.y%p+b.x*a.y%p)%p;
    return c;
}
Complex cpow(Complex a,ll n,ll p,ll w){
    Complex b;
    b.x=1,b.y=0;
    while(n){
        if(n&1)b=mul(b,a,p,w);
        n>>=1;
        a=mul(a,a,p,w);
    }
    return b;
}

得出答案

答案等于 \((a+bw)^{\frac{p+1}{2}}\)

推导

问题 \(x^2\equiv n(mod\ p)\) ，求解 \(x\)

\(Cipolla\) 算法 \(x\equiv(a+w)^{\frac{p+1}{2}}(mod\ p)\)

Complex x;
x.x=a,x.y=1;
x=cpow(x,(p+1)/2,p,w);
ll x1=x.x,x2=p-x.x;
if(x1>x2)swap(x1,x2);
printf("%lld %lld\n",x1,x2);

注意：当 \(n=0\) 时，最终结果只有 \(0\)

参考资料

https://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/52033204

https://kewth.github.io/2019/10/21/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%89%A9%E4%BD%99/

二次剩余

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原文地址：https://www.cnblogs.com/VagrantAC/p/13280926.html