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关于二分图结论的一些证明

时间:2020-07-29 21:55:21      阅读:83      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:gpo   class   https   合并   tps   答案   之间   合成   owa   

https://www.cnblogs.com/wzx-RS-STHN/p/13399157.html

 
(环的最大匹配方式有多种这里不予讨论)
设最大匹配数为K ,点数为N

最小点覆盖集:
就是用最少的点集G,使这个图上的所有线段的左端点或右端点属于G 证明: 由于所有最大匹配的线段都不相交,只要取左端点或右端点就可以,所以最大匹配的每一个线段都对应了一个点,一共有K个 因为是最大匹配,不存在增广路,当某两条线段的要取的端点相交时,可以知道那一定不是最大匹配。 最大点独立集:
在一个图M中,取最多的点,使得每个点都互不相邻 证明: 当一条线段AB属于最大匹配中的边时,它一定有一个端点没有连其他的边,所以最大匹配的线段上一共有K个, 而不属于最大匹配的线段上的有N−2∗K个(每条最大匹配的线段都对应了两个点) 因为我们取的是没有连其他边的端点,自然也就不存在不在最大匹配的线段上的点与其相邻 所以一共有N−2∗K+K=N−K个点 最小边覆盖:
取最少的边集G,使得所有的顶点都在G中 证明: 其实与最大点独立集差不多,只是点也可以视为边,最大匹配中的边覆盖了2∗k点, 剩下的N−2∗K个点又要用N−2∗K条线段去覆盖,所以一共是N−2∗K+K=N−K 最小路径覆盖:
在一个有向图中,用不相交的路径覆盖整个图 证明: 因为每个点最初都是一条路径,总共有N条不相交路径。我们每次在二分图里加一条边就相当于把两条路径合成了一条路径,
因为路径之间不能有公共点,所以加的边之间也不能有公共点,而最多能合并K次,所以答案是N−K

关于二分图结论的一些证明

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原文地址:https://www.cnblogs.com/sbwll/p/13399210.html

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