利用矩母函数求独立随机变量之和的分布

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在求独立的随机变量之和的分布时，可用矩母函数法。

1 矩母函数法

定理 已知\(X_1,\ldots,X_n\)为独立的随机变量，各种的矩母函数为\(M_1,\ldots,M_n\)，\(a_1,\ldots,a_n\)为常数，则\(Y=\sum_{i=1}^{n}a_i X_i\)的矩母函数为

2 案例

2.1 Bernoulli分布

\(X_1,\ldots,X_n\)为来自\(\text{Bernoulli}(p)\)分布的随机样本，则\(X_i\)的矩母函数为

那么\(Y=\sum_{i=1}^{n}X_i\)的矩母函数为

这正是\(\text{Binomial}(n,p)\)分布的矩母函数。

2.2 正态分布

若\(X_i\sim N(\mu_i,\sigma^2_i)\)，\(i=1,\ldots,n\)，且相互独立，正态分布的矩母函数为

那么\(Y=\sum_{i=1}^{n}a_i X_i\)的矩母函数为

因此\(Y\sim N(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\mu_i,\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2 \sigma_i^2)\)。

利用矩母函数求独立随机变量之和的分布

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原文地址：https://www.cnblogs.com/analysis101/p/14650336.html